Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trikampiu sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 9 + j12 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 400 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 400 VZ = 9 + j12 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 200 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Prie idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 2:1, antrinės apvijos prijungtas 10 Ω rezistorius. Raskite varžą R_1′, matomą iš pirminės apvijos pusės.

N₁:N₂ = 2:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 50 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 150 W. Esant vardinei apkrovai ir galios koeficientui 0,85 (induktyvus), jo naudingumo koeficientas 97,5%. Raskite vario nuostolius P_cu,fl vatais esant vardinei apkrovai.

S = 50 kVAP_core = 150 Wpf = 0,85η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 120 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 2,5 A ir 270 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite X.

V = 120 VI = 2,5 AP = 270 W

X = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 230 V, 60 Hz tinklo ima 40 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,9. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 40 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 10 mH, turi rezonuoti esant 5000 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f₀ = 5000 HzL = 10 mH

C = µF

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis, kurio k = 0,75 N·m/A, o R_a = 0,4 Ω, prijungtas prie 120 V. Raskite jo stabdymo momentą T_stall, momentą esant nuliniam greičiui.

V = 120 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,4 Ω

T_stall = N·m

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω), prijungtas prie pastovios 110 V įtampos, suka 10 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą R_s, kuri jį sulėtina iki 300 aps./min.

V = 110 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 10 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 19,2 kW

Fazinė įtampa

V_ph = V_L = 400 V

Fazinė srovė

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 400/15 = 26,67 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·26,67²·9 = 19,2 kW

Atsakymas

P = 19,2 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,6, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 305,2 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 79,52 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 26506/(377·480²) = 305,2 µF

Atsakymas

C_ph = 305,2 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: R_1′ = 40 Ω

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Perskaičiuota varža

Įtampa padidėja a kartų, o srovė a kartų sumažėja, todėl santykis V/I padidėja a² kartų.

R_1′ = a²·R_L = 2²·10 = 40 Ω

Atsakymas

R_1′ = 40 Ω

4.Transformatoriai

Atsakymas: P_cu,fl = 939,7 W

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Išėjimo ir įėjimo galia

P_out = 50·0,85 = 42,5 kW

P_in = 42500/0,975 = 43590 W

Bendri ir vario nuostoliai

P_loss = 43590 − 42500 = 1090 W

P_cu,fl = 1090 − 150 = 939,7 W

Atsakymas

P_cu,fl = 939,7 W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: X = 20,92 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 270/2,5² = 43,2 Ω

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

|Z| = V/I = 120/2,5 = 48 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(48² − 43,2²) = 20,92 Ω

Atsakymas

X = 20,92 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 193,2 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 21,44 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 40000/(230·0,9) = 193,2 A

Atsakymas

I_new = 193,2 A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 0,1013 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,01) = 0,1013 µF

Atsakymas

C = 0,1013 µF

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,03834 A

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−302,6)²) = 313 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/313 = 0,03834 A

Atsakymas

I = 0,03834 A

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T_stall = 225 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Stabdymo srovė

I_a = V/R_a = 120/0,4 = 300 A

Stabdymo momentas

T_stall = 0,75·300 = 225 N·m

Atsakymas

T_stall = 225 N·m

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_s = 3,647 Ω

Srovė ir priešelektrovara

I_a = 10/0,4 = 25 A

E = 0,4·31,42 = 12,57 V

Nuoseklioji varža

R_a + R_s = (110 − 12,57)/25 = 3,897 Ω

R_s = 3,647 Ω

Atsakymas

R_s = 3,647 Ω

Rezistorius išsklaido 2280 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems