Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 7,5 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 90%, o galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 415 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 7,5 kWη = 90%cos φ = 0,9V_L = 415 V

I_L = A

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 80 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoriaiVidutinis

Prie idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 12:1, antrinės apvijos prijungtas 10 Ω rezistorius. Raskite varžą R_1′, matomą iš pirminės apvijos pusės.

N₁:N₂ = 12:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 75 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 600 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 900 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 400 V vienfazio tinklo: 18 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,75 (induktyvus), ir 20 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Raskite bendrą iš tinklo imamą srovę I.

V = 400 VP₁ = 18 kW, pf₁ = 0,75 induktyvusP₂ = 20 kW, pf₂ = 0,7 induktyvus

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 50 Hz tinklo ima 14 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungiamas 220 µF kondensatorius. Raskite naują tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

P = 14 kWpf₁ = 0,75V = 400 Vf = 50 HzC = 220 µF

cos φ =

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 120 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 50 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis duoda 7,5 kW mechaninės galios, sukdamasis 1500 aps./min. Raskite veleno momentą T.

P = 7,5 kWn = 1500 rpm

T = N·m

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,2 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω), prijungtas prie pastovios 48 V įtampos, suka 2 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą R_s, kuri jį sulėtina iki 750 aps./min.

V = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 2 N·mn = 750 rpm

R_s = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 12,88 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 7,5/0,9 = 8,333 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8333/(√3·415·0,9) = 12,88 A

Atsakymas

I_L = 12,88 A

2.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 30,1 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,1 kvar

Atsakymas

Q_C = 30,1 kvar

3.Transformatoriai

Atsakymas: R_1′ = 1440 Ω

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Perskaičiuota varža

Įtampa padidėja a kartų, o srovė a kartų sumažėja, todėl santykis V/I padidėja a² kartų.

R_1′ = a²·R_L = 12²·10 = 1440 Ω

Atsakymas

R_1′ = 1440 Ω

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 61,24 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·900 = 600 → x = √(600/900) = 0,8165

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,8165·75 = 61,24 kVA

Atsakymas

S_η,max = 61,24 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 131,3 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 18·tan(arccos 0,75) = 15,87 kvar

Q₂ = 20·tan(arccos 0,7) = 20,4 kvar

Sumos

P = 18 + 20 = 38 kW

Q = 15,87 + 20,4 = 36,28 kvar

S = √(38² + 36,28²) = 52,54 kVA

Bendra srovė

I = S/V = 52537/400 = 131,3 A

Atsakymas

I = 131,3 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,9958

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = 14·tan(arccos 0,75) = 12,35 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·220·10⁻⁶ = 11058 var = 11,06 kvar

Q₂ = 12,35 − 11,06 = 1,288 kvar

Nauja pilnutinė galia

S₂ = √(14² + 1,288²) = 14,06 kVA

Naujas galios koeficientas

cos φ = P/S₂ = 14/14,06 = 0,9958

Atsakymas

cos φ = 0,9958

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,1203 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (59,65)²) = 99,79 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/99,79 = 0,1203 A

Atsakymas

I = 0,1203 A

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 87,04 Ω

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,84 − j23,39 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 50 + 33,84 − j23,39 = 83,84 − j23,39 Ω

|Z| = √(83,84² + 23,39²) = 87,04 Ω

Atsakymas

|Z| = 87,04 Ω

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T = 47,75 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Greitis rad/s

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 7500/157,1 = 47,75 N·m

Atsakymas

T = 47,75 N·m

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_s = 2,829 Ω

Srovė ir priešelektrovara

I_a = 2/0,2 = 10 A

E = 0,2·78,54 = 15,71 V

Nuoseklioji varža

R_a + R_s = (48 − 15,71)/10 = 3,229 Ω

R_s = 2,829 Ω

Atsakymas

R_s = 2,829 Ω

Rezistorius išsklaido 282,9 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems