Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trikampiu sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 12 + j9 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 415 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 415 VZ = 12 + j9 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 120 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Stiprintuvas, kurio išėjimo varža 288 Ω, per idealų transformatorių maitina 8 Ω garsiakalbį. Kad būtų perduodama didžiausia galia, iš stiprintuvo pusės garsiakalbis turi atrodyti kaip 288 Ω. Raskite transformacijos koeficientą a = N₁/N₂.

R_s = 288 ΩR_L = 8 Ω

a =

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 75 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 375 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 750 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 75 kVAP_core = 375 WP_cu,fl = 750 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 240 V tinklo ima 7 kW, kai galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite linijos srovę I.

P = 7 kWpf = 0,85V = 240 V

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

200 kVA vienfazis transformatorius maitina 112 kW apkrovą, kurios galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Kiek papildomos aktyviosios galios ΔP galima pridėti kaip aktyviąją (galios koeficientas lygus vienetui) apkrovą, kol transformatorius pasieks savo vardinę kVA galią?

S_max = 200 kVAP₁ = 112 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 230 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 150 mH

φ = °

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 12 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) maitinamas 120 V. Pilna apkrova jis vartoja 10 A. Neįskaitydami tuščiosios eigos srovės, raskite jo greičio reguliavimą SR = (n₀ − n_FL)/n_FL procentais.

V = 120 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 1,2 ΩI_FL = 10 A

SR = %

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1,2 Ω, jis maitinamas 110 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią P_max, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 110 VR_a = 1,2 Ω

P_max = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 27,56 kW

Fazinė įtampa

V_ph = V_L = 415 V

Fazinė srovė

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 415/15 = 27,67 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·27,67²·12 = 27,56 kW

Atsakymas

P = 27,56 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,8, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 365,7 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 65,63 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21878/(377·398,4²) = 365,7 µF

Atsakymas

C_ph = 365,7 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: a = 6

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Suderinkite perskaičiuotą apkrovą

a²·8 = 288

a = √(288/8) = √36 = 6

Atsakymas

a = 6

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 53,03 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·750 = 375 → x = √(375/750) = 0,7071

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,7071·75 = 53,03 kVA

Atsakymas

S_η,max = 53,03 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 34,31 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Linijos srovė

Darbą atlieka tik aktyvioji galios dalis, todėl dalykite iš galios koeficiento.

I = P/(V·cos φ) = 7000/(240·0,85) = 34,31 A

Atsakymas

I = 34,31 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: ΔP = 69,5 kW

Esamos apkrovos reaktyvioji galia

Q₁ = 112·tan(arccos 0,8) = 84 kvar

Didžiausia bendra aktyvioji galia

Esant vardinei galiai S = S_max, o aktyvioji apkrova Q nekeičia.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 84²) = 181,5 kW

Papildoma aktyvioji galia

ΔP = 181,5 − 112 = 69,5 kW

Atsakymas

ΔP = 69,5 kW

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = 23,85 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_L = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 230/25 = 9,2 A

I_X = V/X_L = 230/56,55 = 4,067 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(9,2² + 4,067²) = 10,06 A

Fazės kampas

Ritės srovė atsilieka nuo V, todėl bendra srovė atsilieka, o kampas teigiamas.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(4,067/9,2) = 23,85°

Atsakymas

φ = 23,85°

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 44,07 Ω

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,81 − j4,728 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 25 + 18,81 − j4,728 = 43,81 − j4,728 Ω

|Z| = √(43,81² + 4,728²) = 44,07 Ω

Atsakymas

|Z| = 44,07 Ω

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: SR = 11,11 %

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Tuščiosios eigos ir pilnos apkrovos greitis

n₀ = 60·120/(2π·0,5) = 2292 rpm

n_FL = 60·(120 − 10·1,2)/(2π·0,5) = 2063 rpm

Greičio reguliavimas

SR = (2292 − 2063)/2063·100 = 11,11 %

Atsakymas

SR = 11,11 %

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: P_max = 2521 W

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

Didžiausia galia

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 110²/(4·1,2) = 2521 W

Atsakymas

P_max = 2521 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems