Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 10 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 415 V. Galios koeficientas 0,95 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 415 VI_L = 10 Acos φ = 0,95

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 80 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoriaiVidutinis

Stiprintuvas, kurio išėjimo varža 10800 Ω, per idealų transformatorių maitina 75 Ω garsiakalbį. Kad būtų perduodama didžiausia galia, iš stiprintuvo pusės garsiakalbis turi atrodyti kaip 10800 Ω. Raskite transformacijos koeficientą a = N₁/N₂.

R_s = 10800 ΩR_L = 75 Ω

a =

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 200 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 600 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 1500 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 200 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1500 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 230 V vienfazio tinklo: 12 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,85 (induktyvus), ir 25 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Raskite bendrą tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

V = 230 VP₁ = 12 kW, pf₁ = 0,85 induktyvusP₂ = 25 kW, pf₂ = 0,9 induktyvus

cos φ =

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 50 Hz tinklo ima 20 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,92. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 20 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 1000 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuoseklios RLC grandinės R = 50 Ω, L = 5 mH ir C = 0,047 µF. Raskite jos kokybės faktorių Q rezonanso metu.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,047 µF

Q =

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis (k = 1,2 N·m/A, R_a = 0,5 Ω) maitinamas 220 V ir sukasi apkrovos momentu 24 N·m. Raskite jo greitį n aps./min.

V = 220 Vk = 1,2 N·m/AR_a = 0,5 ΩT = 24 N·m

n = rpm

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1 Ω, jis maitinamas 110 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią P_max, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 110 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 6,829 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·415·10 = 7,188 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 7,188·0,95 = 6,829 kW

Atsakymas

P = 6,829 kW

2.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 201,3 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,1 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10034/(314,2·398,4²) = 201,3 µF

Atsakymas

C_ph = 201,3 µF

3.Transformatoriai

Atsakymas: a = 12

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Suderinkite perskaičiuotą apkrovą

a²·75 = 10800

a = √(10800/75) = √144 = 12

Atsakymas

a = 12

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 126,5 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·1500 = 600 → x = √(600/1500) = 0,6325

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,6325·200 = 126,5 kVA

Atsakymas

S_η,max = 126,5 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,8842

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 12·tan(arccos 0,85) = 7,437 kvar

Q₂ = 25·tan(arccos 0,9) = 12,11 kvar

Sumos

P = 12 + 25 = 37 kW

Q = 7,437 + 12,11 = 19,54 kvar

S = √(37² + 19,54²) = 41,85 kVA

Bendras galios koeficientas

cos φ = P/S = 37/41,85 = 0,8842 induktyvus

Atsakymas

cos φ = 0,8842

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 54,35 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(41,41°) = 17,64 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23,07°) = 8,52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 9,118 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 20000/(400·0,92) = 54,35 A

Atsakymas

I_new = 54,35 A

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,1536 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (155)²) = 156,3 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 24/156,3 = 0,1536 A

Atsakymas

I = 0,1536 A

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: Q = 6,523

Rezonansinis dažnis

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

Kokybės faktorius

Q palygina reaktyviąją varžą rezonanso metu su varža: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,047·10⁻⁶)) = 6,523

Atsakymas

Q = 6,523

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n = 1671 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Inkaro srovė

I_a = T/k = 24/1,2 = 20 A

Priešelektrovara ir greitis

E = 220 − 20·0,5 = 210 V

ω = E/k = 175 rad/s → n = 1671 rpm

Atsakymas

n = 1671 rpm

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: P_max = 3025 W

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

Didžiausia galia

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 110²/(4·1) = 3025 W

Atsakymas

P_max = 3025 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems