Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė žvaigžde sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 9 + j12 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 480 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 480 VZ = 9 + j12 Ω vienai fazei

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 250 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoriaiVidutinis

Vienfazis 75 kVA, 7200/240 V transformatorius veikia vardine apkrova. Laikykite jį idealiu. Raskite srovę I_HV aukštosios įtampos apvijoje.

S = 75 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 500 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 1500 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 4500 W. Jis tiekia 25% vardinės galios kVA, kai galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite bendrus nuostolius P_loss vatais esant šiai apkrovai.

S = 500 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 4500 Wx = 0,25pf = 0,85

P_loss = W

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Apkrova, kurios pilnutinė varža Z = 12 + j9 Ω, prijungta prie 230 V (efektinė) vienfazio tinklo. Raskite pilnutinę galią S.

V = 230 VZ = 12 + j9 Ω

S = VA

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

100 V (efektinė), 1000 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 50 + j6 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 100 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 50 + j6 Ω

P_max = W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios C = 47 µF, turi rezonuoti esant 2000 Hz. Raskite reikiamą induktyvumą L.

f₀ = 2000 HzC = 47 µF

L = mH

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė maitinama 12 V (efektinė) šaltiniu, kurio dažnis nustatytas lygus grandinės rezonansiniam dažniui. Raskite efektinę įtampą V_L ant ritės.

V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

V_L = V

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis duoda 3 kW mechaninės galios, sukdamasis 3000 aps./min. Raskite veleno momentą T.

P = 3 kWn = 3000 rpm

T = N·m

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės variklis (k = 0,12 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω), prijungtas prie pastovios 24 V įtampos, suka 0,6 N·m apkrovą. Raskite nuosekliąją varžą R_s, kuri jį sulėtina iki 1500 aps./min.

V = 24 Vk = 0,12 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 0,6 N·mn = 1500 rpm

R_s = Ω

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 9,216 kW

Fazinė įtampa

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Fazinė srovė

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 277,1/15 = 18,48 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·18,48²·9 = 9,216 kW

Atsakymas

P = 9,216 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,6, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

2.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 169,7 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 169,7 kvar

Atsakymas

Q_C = 169,7 kvar

3.Transformatoriai

Atsakymas: I_HV = 10,42 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Vardinė srovė

Abi apvijos perneša tą pačią pilnutinę galią.

I_HV = S/V = 75000/7200 = 10,42 A

Atsakymas

I_HV = 10,42 A

4.Transformatoriai

Atsakymas: P_loss = 1781 W

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai esant šiai apkrovai

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·4500 = 281,3 W

Bendri nuostoliai

Šerdies nuostoliai vienodi esant bet kokiai apkrovai.

P_loss = 1500 + 281,3 = 1781 W

Atsakymas

P_loss = 1781 W

Naudingumo koeficientas esant šiai apkrovai η = 98,35%.

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: S = 3527 VA

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Srovė

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 230/15 = 15,33 A

Pilnutinė galia

S = V·I = 230·15,33 = 3527 VA

Atsakymas

S = 3527 VA

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 50 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 50 − j6 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 100/100 = 1 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·50) = 50 W

Atsakymas

P_max = 50 W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: L = 0,1347 mH

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·47·10⁻⁶) = 0,1347 mH

Atsakymas

L = 0,1347 mH

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_L = 38,14 V

Rezonansas

Rezonanso metu reaktyviosios varžos susiprastina, todėl pilnutinė varža lygi tik R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·2,2·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 12/15 = 0,8 A

Įtampa ant ritės

X_L = ω₀L = 9535·0,005 = 47,67 Ω

V_L = I·X_L = 0,8·47,67 = 38,14 V

Atsakymas

V_L = 38,14 V

Tai Q = 3,178 kartų didesnė už maitinimo įtampą.

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: T = 9,549 N·m

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Greitis rad/s

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Sukimo momentas

T = P/ω = 3000/314,2 = 9,549 N·m

Atsakymas

T = 9,549 N·m

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: R_s = 0,8301 Ω

Srovė ir priešelektrovara

I_a = 0,6/0,12 = 5 A

E = 0,12·157,1 = 18,85 V

Nuoseklioji varža

R_a + R_s = (24 − 18,85)/5 = 1,03 Ω

R_s = 0,8301 Ω

Atsakymas

R_s = 0,8301 Ω

Rezistorius išsklaido 20,75 W; pertraukiklis greitį valdo su gerokai mažesniais nuostoliais.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems