Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 20 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 208 V. Galios koeficientas 0,92 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 208 VI_L = 20 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 60 kW, kai galios koeficientas 0,72 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoriaiVidutinis

Stiprintuvas, kurio išėjimo varža 32 Ω, per idealų transformatorių maitina 8 Ω garsiakalbį. Kad būtų perduodama didžiausia galia, iš stiprintuvo pusės garsiakalbis turi atrodyti kaip 32 Ω. Raskite transformacijos koeficientą a = N₁/N₂.

R_s = 32 ΩR_L = 8 Ω

a =

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 50 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 400 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 1200 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 50 kVAP_core = 400 WP_cu,fl = 1200 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Apkrova, kurios pilnutinė varža Z = 8 + j6 Ω, prijungta prie 120 V (efektinė) vienfazio tinklo. Raskite jos imamą reaktyviąją galią Q.

V = 120 VZ = 8 + j6 Ω

Q = var

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 60 Hz tinklo ima 25 kW, kai galios koeficientas 0,6 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,9. Raskite reikiamą talpą C.

P = 25 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir ritė lygiagrečiai prijungti prie 50 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mH

φ = °

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuoseklios RLC grandinės R = 10 Ω, L = 20 mH ir C = 0,022 µF. Raskite jos praleidžiamųjų dažnių juostos plotį B (juostos tarp pusinės galios dažnių plotį) Hz.

R = 10 ΩL = 20 mHC = 0,022 µF

B = Hz

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis (k = 1 N·m/A, R_a = 1,2 Ω) maitinamas 120 V ir sukasi apkrovos momentu 6 N·m. Raskite jo greitį n aps./min.

V = 120 Vk = 1 N·m/AR_a = 1,2 ΩT = 6 N·m

n = rpm

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Mažo nuolatinės srovės variklio inkaro varža yra 1,5 Ω, jis maitinamas 24 V. Neįskaitydami sukimosi nuostolių, raskite didžiausią mechaninę galią P_max, kurią jis gali išvystyti bet kokiu greičiu.

V = 24 VR_a = 1,5 Ω

P_max = W

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: P = 6,629 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·208·20 = 7,205 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 7,205·0,92 = 6,629 kW

Atsakymas

P = 6,629 kW

2.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 32,27 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 32,27 kvar

Atsakymas

Q_C = 32,27 kvar

3.Transformatoriai

Atsakymas: a = 2

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Suderinkite perskaičiuotą apkrovą

a²·8 = 32

a = √(32/8) = √4 = 2

Atsakymas

a = 2

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 28,87 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·1200 = 400 → x = √(400/1200) = 0,5774

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,5774·50 = 28,87 kVA

Atsakymas

S_η,max = 28,87 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 864 var

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Srovė

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 120/10 = 12 A

Reaktyvioji galia

Q = I²·X = 12²·6 = 864 var

Atsakymas

Q = 864 var

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: C = 351,9 µF

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(53,13°) = 33,33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25,84°) = 12,11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 21,23 kvar

Talpa

Prie maitinimo prijungtas kondensatorius tiekia Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 21225/(2π·60·400²) = 351,9 µF

Atsakymas

C = 351,9 µF

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = 32,48 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_L = ωL = 2π·500·0,05 = 157,1 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 50/100 = 0,5 A

I_X = V/X_L = 50/157,1 = 0,3183 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,5² + 0,3183²) = 0,5927 A

Fazės kampas

Ritės srovė atsilieka nuo V, todėl bendra srovė atsilieka, o kampas teigiamas.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,3183/0,5) = 32,48°

Atsakymas

φ = 32,48°

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: B = 79,58 Hz

Rezonansinis dažnis

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,022·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Kokybės faktorius

Q palygina reaktyviąją varžą rezonanso metu su varža: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,02/(0,022·10⁻⁶)) = 95,35

Juostos plotis

B = f₀/Q = 7587/95,35 = 79,58 Hz

Atsakymas

B = 79,58 Hz

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: n = 1077 rpm

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Inkaro srovė

I_a = T/k = 6/1 = 6 A

Priešelektrovara ir greitis

E = 120 − 6·1,2 = 112,8 V

ω = E/k = 112,8 rad/s → n = 1077 rpm

Atsakymas

n = 1077 rpm

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: P_max = 96 W

Galia kaip priešelektrovaros funkcija

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Didžiausia galia

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1,5) = 96 W

Atsakymas

P_max = 96 W

Šiame taške naudingumo koeficientas tik 50 %, todėl tikri varikliai veikia gerokai didesniu nei pusė greičiu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems