Elektros energetikos sistemos ir elektros mašinos: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

Transformatoriai

Transformacijos koeficientas: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Srovių santykis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Vardinė srovė: I = S/V
Perskaičiuota varža: Z₁′ = a²·Z_L
Vario nuostoliai esant daliniam apkrovimui: P_cu = x²·P_cu,fl
Naudingumo koeficientas: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Didžiausias naudingumo koeficientas: x = √(P_core/P_cu,fl)

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Nuolatinės srovės varikliai

Inkaro grandinė: V = E + I_aR_a
Priešelektrovara ir momentas: E = k·ω, T = k·I_a
Greitis: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Tuščiosios eigos greitis ir stabdymo momentas: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Galios: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Paleidimas: I_start = V/(R_a + R_st)
Greičio reguliavimas: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Didžiausia išvystoma galia: P_max = V²/(4R_a)
Pertraukiklio pavara: V_a = D·V_dc

Metodas

Nubraižykite inkaro grandinę: maitinimas V, varža R_a ir priešelektrovara E nuosekliai.
Įtampai, srovei ir priešelektrovarai susieti naudokite V = E + I_a·R_a.
Greičiui naudokite E = k·ω, o momentui T = k·I_a, kai ω = 2π·n/60.
Galiai ir naudingumui pradėkite nuo V·I_a, atimkite vario nuostolius I_a²·R_a, o tada sukimosi nuostolius.

2Uždaviniai

1.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 30 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 94%, o galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 690 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 30 kWη = 94%cos φ = 0,9V_L = 690 V

I_L = A

2.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 80 kW, kai galios koeficientas 0,72 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,92 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoriaiVidutinis

Idealaus transformatoriaus, kurio transformacijos koeficientas N₁:N₂ = 10:1, pirminei apvijai prijungta 1200 V įtampa. Prie antrinės apvijos prijungtas 5 Ω rezistorius. Raskite pirminę srovę I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 5 Ω

I₁ = A

4.TransformatoriaiSunkus

Vienfazio 250 kVA transformatoriaus šerdies nuostoliai yra 1250 W, o vario nuostoliai esant vardinei apkrovai – 3750 W. Esant kokiai apkrovai S_η,max kVA jo naudingumo koeficientas didžiausias?

S = 250 kVAP_core = 1250 WP_cu,fl = 3750 W

S_η,max = kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 230 V tinklo ima 21 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Raskite jo naudojamą reaktyviąją galią Q.

P = 21 kWpf = 0,7V = 230 V

Q = kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

120 V (efektinė), 1000 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 20 + j30 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 120 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 20 + j30 Ω

P_max = W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios C = 4,7 µF, turi rezonuoti esant 2000 Hz. Raskite reikiamą induktyvumą L.

f₀ = 2000 HzC = 4,7 µF

L = mH

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 120 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 60 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

9.Nuolatinės srovės varikliaiVidutinis

Nuolatinės srovės variklis iš 110 V maitinimo vartoja 5 A. Jo inkaro varža yra 2 Ω, o sukimosi (trinties, ventiliacijos ir plieno) nuostoliai yra 20 W. Raskite jo naudingumo koeficientą η.

V = 110 VI_a = 5 AR_a = 2 ΩP_rot = 20 W

η = %

10.Nuolatinės srovės varikliaiSunkus

Nuolatinės srovės pertraukiklis maitina variklį (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 1,5 Ω) iš 240 V nuolatinės įtampos šynos. Vidutinė inkaro įtampa yra D·240 V. Raskite pildymo koeficientą D, su kuriuo variklis sukasi 500 aps./min, kai apkrova yra 12 N·m.

V_dc = 240 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1,5 ΩT = 12 N·mn = 500 rpm

D = %

3Tirpalai

1.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 29,67 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 30/0,94 = 31,91 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 31915/(√3·690·0,9) = 29,67 A

Atsakymas

I_L = 29,67 A

2.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 43,03 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 43,03 kvar

Atsakymas

Q_C = 43,03 kvar

3.Transformatoriai

Atsakymas: I₁ = 2,4 A

Idealus transformatorius: įtampų santykis lygus vijų skaičių santykiui, o srovių – atvirkštiniam santykiui: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a ir I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, todėl įėjimo galia lygi išėjimo galiai, V₁·I₁ = V₂·I₂. Antrinėje pusėje esantis apkrovos impedansas Z iš pirminės pusės atrodo kaip a²·Z.

Antrinė įtampa ir srovė

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/5 = 24 A

Pirminė srovė

Idealus transformatorius neturi nuostolių: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 2,4 A

Atsakymas

I₁ = 2,4 A

Patikrinimas: iš pirminės pusės matoma apkrova yra a²·R_L = 500 Ω, o 1200/500 duoda tą pačią srovę.

4.Transformatoriai

Atsakymas: S_η,max = 144,3 kVA

Transformatoriaus nuostoliai: šerdies nuostoliai (histerezės ir sūkurinių srovių) priklauso nuo įtampos ir esant bet kokiai apkrovai yra vienodi. Vario nuostoliai apvijose proporcingi srovės kvadratui, todėl esant apkrovos daliai x nuo vardinės jie lygūs x²·P_cu,fl. Naudingumo koeficientas η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), kur P_out = x·S·pf. Naudingumo koeficientas didžiausias esant tokiai apkrovai, kai vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams.

Vario nuostoliai lygūs šerdies nuostoliams

x²·3750 = 1250 → x = √(1250/3750) = 0,5774

Apkrova esant didžiausiam naudingumo koeficientui

S_η,max = x·S = 0,5774·250 = 144,3 kVA

Atsakymas

S_η,max = 144,3 kVA

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 21,42 kvar

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kampas

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Reaktyvioji galia

Q = P·tan φ = 21·1,02 = 21,42 kvar

Atsakymas

Q = 21,42 kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 180 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 20 − j30 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 120/40 = 3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 120²/(4·20) = 180 W

Atsakymas

P_max = 180 W

7.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: L = 1,347 mH

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·4,7·10⁻⁶) = 1,347 mH

Atsakymas

L = 1,347 mH

8.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 56,72 Ω

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 28,17 − j29,94 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 20 + 28,17 − j29,94 = 48,17 − j29,94 Ω

|Z| = √(48,17² + 29,94²) = 56,72 Ω

Atsakymas

|Z| = 56,72 Ω

9.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: η = 87,27 %

Nuolatinės srovės variklis: inkaras yra varža R_a, nuosekliai sujungta su priešelektrovara E, taigi V = E + I_a·R_a. Priešelektrovara didėja didėjant greičiui, E = k·ω, o sukimo momentas – didėjant srovei, T = k·I_a, su ta pačia variklio konstanta k (V·s/rad = N·m/A) SI vienetais. Greitį perskaičiuokite pagal ω = 2π·n/60. Išvystoma galia yra E·I_a = T·ω; įėjimo galia yra V·I_a, o skirtumą sudaro vario nuostoliai I_a²R_a ir sukimosi nuostoliai. Greitis mažėja tiese didėjant momentui, ω = V/k − R_a·T/k², nuo tuščiosios eigos greičio V/k iki nulio ties stabdymo momentu k·V/R_a. Stovint E = 0, todėl paleidimo srovė V/R_a yra didelė, nebent ją riboja rezistorius.

Galios

P_in = 110·5 = 550 W

P_dev = 100·5 = 500 W

P_out = 500 − 20 = 480 W

Naudingumo koeficientas

η = 480/550·100 = 87,27 %

Atsakymas

η = 87,27 %

10.Nuolatinės srovės varikliai

Atsakymas: D = 37,72 %

Reikiama inkaro įtampa

V_a = 1,5·52,36 + 8·1,5 = 90,54 V

Pildymo koeficientas

D = 90,54/240 = 37,72 %

Atsakymas

D = 37,72 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems