Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Kokia maždaug įverčių dalis normaliajame skirstinyje yra vieno standartinio nuokrypio nuo vidurkio ribose?
- A68%
- B99,7%
- C50%
- D95%
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Psichologijos katedra dalyvius verbuoja tik iš įvadinių psichologijos kursų. Kritikai sako, kad imtys yra „WEIRD“. Ką tai reiškia?
- AVakarietiškos, išsilavinusios, industrializuotos, turtingos ir demokratinės (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) imtys, kurių rezultatų gali nepavykti apibendrinti
- BImtys, verbuojamos svertiniais atsitiktiniais metodais
- CImtys, kurių elgesys neįprastai keistas
- DImtys, kurios anksti pasitraukia iš tyrimų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 28, 40, 11, 21, 11, 15, 46.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 100. Raskite rezultato 380 z įvertį z.
μ = 500σ = 100x = 380
z =
5.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 4
P =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €6 su tikimybe 0,15 ir €40 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,01
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 113 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 113 s
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 75 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 elementų imties vidurkis – 21,5, standartinis nuokrypis s = 13. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 10x̄ = 21,5s = 1390%t(9) = 1,833
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 40E = 599%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 198,1, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,1s = 8n = 36
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 25 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 35 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 35n₂ = 120
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 107?
n = 6ŷ = 107
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1002 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2403 × 2α = 0,01
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · 68%
Kodėl tai yra atsakymas
Apie 68% įverčių patenka į ±1 SN, apie 95% – į ±2 SN, o apie 99,7% – į ±3 SN.
Atsakymas
A · 68%
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Vakarietiškos, išsilavinusios, industrializuotos, turtingos ir demokratinės (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) imtys, kurių rezultatų gali nepavykti apibendrinti
Kodėl tai yra atsakymas
Henrichas su kolegomis pastebėjo, kad dauguma psichologijos tyrimų dalyvių yra iš WEIRD visuomenių, kurios neatstovauja žmonijai, ir tai kelia grėsmę populiacijos validumui.
Atsakymas
A · Vakarietiškos, išsilavinusios, industrializuotos, turtingos ir demokratinės (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) imtys, kurių rezultatų gali nepavykti apibendrinti
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,03
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 172/7 = 24,57
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 3,429² + 15,43² + (−13,57)² + (−3,571)² + (−13,57)² + (−9,571)² + 21,43² = 1182
Standartinis nuokrypis
s = √(1182/6) = 14,03
Atsakymas
s = 14,03
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (380 − 500)/100 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5177
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Atsakymas
P = 0,5177
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −0,7 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Laukiamoji vertė
E(G) = 4·0,15 + 38·0,01 − 2·0,84 = −0,7 €
Atsakymas
E(G) = −0,7 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1056
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartizuokite
z = (113 − 105)/6,403 = 1,25
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Atsakymas
P = 0,1056
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 173,3 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,25
z iš lentelės
z ≈ −0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm
Atsakymas
x = 173,3 cm
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 13,96
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·13/√10 = 7,535
Intervalas
21,5 ± 7,535 → [13,96, 29,04]
Atsakymas
apatinis rėžis = 13,96
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 425
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·40/5)² = 424,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 425
Atsakymas
n = 425
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,425
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Testo statistika
t = (198,1 − 200)/1,333 = −1,425
Atsakymas
t = −1,425
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −0,691
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 25/100 = 0,25
p̂₂ = 35/120 = 0,2917
p̂ = 60/220 = 0,2727
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,2727·0,7273·(1/100 + 1/120)) = 0,0603
Testo statistika
z = (0,25 − 0,2917)/0,0603 = −0,691
Atsakymas
z = −0,691
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9134
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 426/6 = 71
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85
Syy = Σ(y − ȳ)² = 452
Determinacijos koeficientas
r² = 85²/(17,5·452) = 0,9134
Atsakymas
r² = 0,9134
Apie 91,34% y kitimo paaiškinama tiese.
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 10,04
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 496/6 = 82,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422
Regresijos tiesė
b = 422/70 = 6,029
a = 82,67 − 6,029·6 = 46,5
ŷ = 46,5 + 6,029·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (107 − 46,5)/6,029 = 10,04
Atsakymas
x = 10,04
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 2,946
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
studentai: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21
darbuotojai: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14
Chi kvadrato statistika
χ² = (13 − 12)²/12 + (30 − 27)²/27 + (17 − 21)²/21 + (7 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (18 − 14)²/14
χ² = 2,946
Atsakymas
χ² = 2,946
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 3,5
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
amžius 18–30: 24, 36
amžius 31–50: 32, 48
amžius 51+: 40, 60
Chi kvadrato statistika
χ² = (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36 + (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48 + (33 − 40)²/40 + (67 − 60)²/60
χ² = 3,5
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 9,210
3,5 < 9,210
Atsakymas
χ² = 3,5
χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology