Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris planas kiekvienoje sąlygoje naudoja skirtingus dalyvius?

  1. APakartotinių matavimų planas
  2. BNepriklausomų grupių planas
  3. CSuporuotų porų planas su tais pačiais žmonėmis
  4. DVidinių tiriamųjų planas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Vienfaktorė ANOVA, lyginanti keturias grupes, yra reikšminga. Ką tyrėjas turėtų daryti toliau, kad nustatytų, kurios grupės skiriasi?

  1. AAtlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
  2. BDaryti išvadą, kad visos keturios grupės skiriasi viena nuo kitos
  3. CRezultatą pateikti kaip koreliaciją
  4. DAtlikti vidurkių chi kvadrato testą
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
1520253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 53, 23, 12, 19, 11.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 64,8?

μ = 60σ = 8x = 64,8
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,3520,2540,2560,15μ = 2,4

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−50,78100,22450,02

Žaidimo kaina yra €5. Laimite €15 su tikimybe 0,2 ir €250 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €5€15: p = 0,2€250: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
85,75123,25P = ?

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 85,75 ir 123,25 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 123,25
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
0,02 mm0D − d?

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 10, s = 1,5L = ?Ux̄ = 112,5E99%

10 elementų imties vidurkis – 112,5, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 10x̄ = 112,5s = 1,599%t(9) = 3,25
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,6, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02595%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,6. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?

p ≈ 0,6E = 0,02595%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,1452,145t = ?df = 14

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 98,5, standartinis nuokrypis 8. 2 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 83,2, standartinis nuokrypis 8,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 5x̄₁ = 98,5s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 83,2s₂ = 8,5
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

16 matavimų imties vidurkis – 100,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 100,6σ = 12n = 1690%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1759197021762386251022797xy20256080100

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 132Σy = 490Σx² = 2974Σy² = 41366Σxy = 11076
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy125223320421516617xy2462025ŷ = 19

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 19?

n = 6ŷ = 19
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji215980nerūkantieji283260Iš viso4991140

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Nepriklausomų grupių planas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų grupių plane kiekviena sąlyga turi skirtingus dalyvius; taip išvengiama eilės efektų, bet atsiranda dalyvių kintamųjų rizika.

Atsakymas

B · Nepriklausomų grupių planas
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD

Kodėl tai yra atsakymas

Reikšmingas F rodo, kad ne visi vidurkiai lygūs. Post hoc testai ar planuoti kontrastai nustato, kurios poros skiriasi, kontroliuojant klaidų lygį.

Atsakymas

A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,3

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 155/6 = 25,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 11,17² + 27,17² + (−2,833)² + (−13,83)² + (−6,833)² + (−14,83)² = 1329

Standartinis nuokrypis

s = √(1329/5) = 16,3

Atsakymas

s = 16,3
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2743

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Atsakymas

P = 0,2743
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 4,64

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,4

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,4

Dispersija

Var(X) = 10,4 − 2,4² = 4,64

Atsakymas

Var(X) = 4,64
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 3 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 10 (p = 0,2), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 10·0,2 + 245·0,02 − 5·0,78 = 3 €

Atsakymas

E(G) = 3 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7684

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

Atsakymas

P = 0,7684
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8665

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Atsakymas

P = 0,8665
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 111

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Paklaidos riba

E = 3,25·1,5/√10 = 1,542

Intervalas

112,5 ± 1,542 → [111, 114]

Atsakymas

apatinis rėžis = 111
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1476

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,025² = 1475

Apvalinkite aukštyn

n = 1476

Atsakymas

n = 1476
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 3,393

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

sp² = (4·8² + 10·8,5²)/14 = 69,89
sp = 8,36

Standartinė paklaida

SE = 8,36·√(1/5 + 1/11) = 4,509

Testo statistika

t = (98,5 − 83,2)/4,509 = 3,393

Atsakymas

t = 3,393

Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 105,5

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√16 = 4,935

Intervalo rėžis

U = 100,6 + 4,935 = 105,5

Atsakymas

U = 105,5
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9631

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 11076 − 132·490/6 = 296
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 41366 − 490²/6 = 1349

Koreliacijos koeficientas

r = 296/√(70·1349) = 0,9631

Atsakymas

r = 0,9631
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,278

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Regresijos tiesė

b = −30/17,5 = −1,714
a = 20,33 − (−1,714)·3,5 = 26,33
ŷ = 26,33 − 1,714·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (19 − 26,33)/(−1,714) = 4,278

Atsakymas

x = 4,278
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6,282

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 80·49/140 = 28, 80·91/140 = 52
nerūkantieji: 60·49/140 = 21, 60·91/140 = 39

Chi kvadrato statistika

χ² = (21 − 28)²/28 + (59 − 52)²/52 + (28 − 21)²/21 + (32 − 39)²/39
χ² = 6,282

Atsakymas

χ² = 6,282

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 18,48

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 − 1 = 7

Lentelė

χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

Atsakymas

χ²crit = 18,475

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology