Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tie patys 25 dalyviai atlieka atminties testą prieš kofeiną ir po jo. Įverčiai intervaliniai ir apytiksliai normalūs. Kuris testas tinkamas?

  1. ANepriklausomų imčių t testas
  2. BManno–Whitney U testas
  3. CChi kvadrato testas
  4. DPorinis (susijusių imčių) t testas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas matuoja triukšmo poveikį koncentracijai. Triukšmo sąlygos dalyviai atsitiktinai buvo tiriami ryte, o tylos sąlygos – po pietų. Kokia problema?

  1. AParos laikas yra priklausomasis kintamasis
  2. BTyrime per daug sąlygų
  3. CDuomenys yra nominaliosios skalės
  4. DParos laikas yra painiojantysis kintamasis
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
2530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 43, 22, 60, 32, 25.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 30 z įvertį z.

μ = 60σ = 20x = 30
z =
5.TikimybėVidutinis
raudoni: 5mėlyni: 8

Maišelyje yra 5 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 8
P =
6.TikimybėSunkus
n = 7, p = 0,3: P(X = 2) = ?k01234567

Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 7p = 0,3k = 2
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
32 min35,1 minX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 35,1 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,1 min
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
0,03 mm0D − d?

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 11,5LU = ?x̄ = 11E90%

13 elementų imties vidurkis – 11, standartinis nuokrypis s = 11,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 13x̄ = 11s = 11,590%t(12) = 1,782
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 21. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 21E = 499%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,0642,064t = ?df = 24

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 96,5, standartinis nuokrypis 11. 2 grupė: 20 studentų, vidutinis rezultatas 86,9, standartinis nuokrypis 6,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 6x̄₁ = 96,5s₁ = 11n₂ = 20x̄₂ = 86,9s₂ = 6,5
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

81 matavimų imties vidurkis – 77,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 77,8σ = 15n = 8190%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy3485517629661173xy510506070

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy3505537619661171xy510506070ŷ = 63

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 63?

n = 5ŷ = 63
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji3288120nerūkantieji384280Iš viso70130200

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 11 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Porinis (susijusių imčių) t testas

Kodėl tai yra atsakymas

Porinis t testas lygina tų pačių dalyvių vidurkius dviem sąlygomis, naudodamas kiekvieno asmens skirtumus.

Atsakymas

D · Porinis (susijusių imčių) t testas
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi triukšmas ir tyrimo laikas kinta kartu, bet koks skirtumas gali kilti dėl bet kurio iš jų. Atsitiktinis tyrimo laiko paskirstymas arba pastovus laikas pašalintų painiojantįjį veiksnį.

Atsakymas

D · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,84

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 219/6 = 36,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 0,5² + 6,5² + (−14,5)² + 23,5² + (−4,5)² + (−11,5)² = 957,5

Standartinis nuokrypis

s = √(957,5/5) = 13,84

Atsakymas

s = 13,84
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (30 − 60)/20 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1282

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Atsakymas

P = 0,1282
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3177

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 2) = 21·0,32·0,75 = 21·0,09·0,1681 = 0,3177

Atsakymas

P = 0,3177
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1075

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartizuokite

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Atsakymas

P = 0,1075
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9515

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Atsakymas

P = 0,9515
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 16,68

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Paklaidos riba

E = 1,782·11,5/√13 = 5,684

Intervalas

11 ± 5,684 → [5,316, 16,68]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 16,68
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 183

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·21/4)² = 182,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 183

Atsakymas

n = 183
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,693

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

sp² = (5·11² + 19·6,5²)/24 = 58,66
sp = 7,659

Standartinė paklaida

SE = 7,659·√(1/6 + 1/20) = 3,565

Testo statistika

t = (96,5 − 86,9)/3,565 = 2,693

Atsakymas

t = 2,693

Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 75,06

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·15/√81 = 2,742

Intervalo rėžis

L = 77,8 − 2,742 = 75,06

Atsakymas

L = 75,06
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9867

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 300/5 = 60

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 434

Koreliacijos koeficientas

r = 130/√(40·434) = 0,9867

Atsakymas

r = 0,9867
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 8,018

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 301/5 = 60,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Regresijos tiesė

b = 110/40 = 2,75
a = 60,2 − 2,75·7 = 40,95
ŷ = 40,95 + 2,75·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (63 − 40,95)/2,75 = 8,018

Atsakymas

x = 8,018
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 9,158

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 120·70/200 = 42, 120·130/200 = 78
nerūkantieji: 80·70/200 = 28, 80·130/200 = 52

Chi kvadrato statistika

χ² = (32 − 42)²/42 + (88 − 78)²/78 + (38 − 28)²/28 + (42 − 52)²/52
χ² = 9,158

Atsakymas

χ² = 9,158

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 23,21

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Lentelė

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Atsakymas

χ²crit = 23,209

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology