Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:

ADalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
BVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
CTyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
DRezultatai taptų statistiškai reikšmingi

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Vienfaktorė ANOVA, lyginanti keturias grupes, yra reikšminga. Ką tyrėjas turėtų daryti toliau, kad nustatytų, kurios grupės skiriasi?

AAtlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
BDaryti išvadą, kad visos keturios grupės skiriasi viena nuo kitos
CRezultatą pateikti kaip koreliaciją
DAtlikti vidurkių chi kvadrato testą

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 21, 52, 54, 29, 13, 32.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 32 z įvertį z.

μ = 50σ = 12x = 32

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,25, 0,05, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 9p = 0,4k = 3

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 247,75 ir 256,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,75x₂ = 256,25

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 97 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 85 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 97 hσ₁ = 17 hn₂ = 60x̄₂ = 85 hσ₂ = 18 h95%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?

p = 0,5E = 0,0195%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 50 detalių imties vidutinis ilgis 94 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 11 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 98,6 mm, žinomas standartinis nuokrypis 10 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 50x̄₁ = 94 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 80x̄₂ = 98,6 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ > 100 atliekamas, kai α = 0,05, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 18. Iš tikrųjų vidurkis lygus 106,6. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 100μ = 106,6σ = 18n = 36α = 0,05

β = %

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 32). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 32)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

Kodėl tai yra atsakymas

Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.

Atsakymas

B · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD

Kodėl tai yra atsakymas

Reikšmingas F rodo, kad ne visi vidurkiai lygūs. Post hoc testai ar planuoti kontrastai nustato, kurios poros skiriasi, kontroliuojant klaidų lygį.

Atsakymas

A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 201/6 = 33,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 18,5² + 20,5² + (−4,5)² + (−20,5)² + (−1,5)² = 1362

Standartinis nuokrypis

s = √(1362/5) = 16,5

Atsakymas

s = 16,5

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (32 − 50)/12 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,418

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,05 + 5·0,35 = 3,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,05 + 25·0,35 = 12,9

Dispersija

Var(X) = 12,9 − 3,3² = 2,01

σ = √2,01 = 1,418

Atsakymas

σ = 1,418

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2508

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 3) = 84·0,4³·0,6⁶ = 84·0,064·0,04666 = 0,2508

Atsakymas

P = 0,2508

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,568

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−0,45) = 0,8944 − 0,3264 = 0,568

Atsakymas

P = 0,568

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9099

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Atsakymas

P = 0,9099

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 5,036 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 97 − 85 = 12

Standartinė paklaida

SE = √(17²/40 + 18²/60) = 3,553

Paklaidos riba

E = 1,96·3,553 = 6,964

Intervalas

12 ± 6,964 → [5,036, 18,96]

Atsakymas

apatinis rėžis = 5,036 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

Apvalinkite aukštyn

n = 9604

Atsakymas

n = 9604

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −2,401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(11²/50 + 10²/80) = √3,67 = 1,916

Testo statistika

z = (94 − 98,6)/1,916 = −2,401

Atsakymas

z = −2,401

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 28,94 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 100 + 1,645·3 = 104,9

z esant tikrajam vidurkiui

z = (104,9 − 106,6)/3 = −0,555

II rūšies klaida

galia = P(Z > −0,555) = 71,06%

β = 100% − 71,06% = 28,94%

Atsakymas

β = 28,94%

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9428

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64,8

Koreliacijos koeficientas

r = −24/√(10·64,8) = −0,9428

Atsakymas

r = −0,9428

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,05

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 121/5 = 24,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Regresijos tiesė

b = −25/10 = −2,5

a = 24,2 − (−2,5)·3 = 31,7

ŷ = 31,7 − 2,5·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 31,7 + (−2,5)·1,5 = 27,95

Liekana

e = 32 − 27,95 = 4,05

Atsakymas

e = 4,05

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 5

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72

moterys: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (42 − 48)²/48 + (78 − 72)²/72 + (22 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24

χ² = 5

Atsakymas

χ² = 5

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6,35

Tikėtini dažniai

linija 1: 40, 40

linija 2: 40, 40

linija 3: 20, 20

Chi kvadrato statistika

χ² = (45 − 40)²/40 + (35 − 40)²/40 + (42 − 40)²/40 + (38 − 40)²/40 + (13 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20

χ² = 6,35

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

6,35 > 5,991

Atsakymas

χ² = 6,35

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology