Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris planas kiekvienoje sąlygoje naudoja skirtingus dalyvius?

  1. AVidinių tiriamųjų planas
  2. BSuporuotų porų planas su tais pačiais žmonėmis
  3. CPakartotinių matavimų planas
  4. DNepriklausomų grupių planas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Daugialypėje regresijoje, prognozuojančioje egzamino įverčius pagal mokymosi valandas ir miegą, R² = 0,36. Ką tai reiškia?

  1. AMokymosi valandos lemia 36% egzamino sėkmės
  2. B36% studentų išlaikė egzaminą
  3. CPrediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos
  4. DPrediktorių koreliacija yra 0,36
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 27, 57, 24, 48, 22, 11, 15.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 30 z įvertį z.

μ = 60σ = 20x = 30
z =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,3510,320,35μ = 1

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,2: P(X = 4) = ?k0123456789101112

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 12p = 0,2k = 4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
300 kg297,4 kgT = X₁ + … + X₁₂?

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 297,4 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12< 297.4 kg
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 100x = ?20%

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 20%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 9,590%, n = 64x̄E₂ = ?90%, n = 576

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 9,5. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 576 stebėjimų?

90%n₁ = 64E₁ = 9,5n₂ = 576
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(12) = 3,0550L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 51,5 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. 2 sklypų grupė: 9 sklypų, vidurkis 57 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 5x̄₁ = 51,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 57s₂ = 9,599%t(12) = 3,055
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,1792,179t = ?df = 12

13 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −1,8, o skirtumų standartinis nuokrypis 5,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = −1,8sd = 5,4
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50 atliekamas, kai α = 0,01, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 51,65. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 50μ = 51,65σ = 5n = 100α = 0,01
1 − β = %
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy126225324422517616xy2462025

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 130Σx² = 91Σy² = 2906Σxy = 417
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy183820482257245526722866xy20254060x = 19

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (19, 39). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(19, 39)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas293160placebas36440Iš viso6535100

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1002 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Nepriklausomų grupių planas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų grupių plane kiekviena sąlyga turi skirtingus dalyvius; taip išvengiama eilės efektų, bet atsiranda dalyvių kintamųjų rizika.

Atsakymas

D · Nepriklausomų grupių planas
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos

Kodėl tai yra atsakymas

R² rodo, kiek rezultato kintamumo paaiškina visi prediktoriai kartu. Jis neįrodo priežastingumo.

Atsakymas

C · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,04

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 204/7 = 29,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−2,143)² + 27,86² + (−5,143)² + 18,86² + (−7,143)² + (−18,14)² + (−14,14)² = 1743

Standartinis nuokrypis

s = √(1743/6) = 17,04

Atsakymas

s = 17,04
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (30 − 60)/20 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,7

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Dispersija

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Atsakymas

Var(X) = 0,7
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1329

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 495·0,24·0,88 = 495·0,0016·0,1678 = 0,1329

Atsakymas

P = 0,1329
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06681

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg

Standartizuokite

z = (297,4 − 300)/1,732 = −1,5

Tikimybė

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 87,38 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 tšk.

Atsakymas

x = 87,38 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 3,167

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/576) = 0,3333

Nauja paklaidos riba

E₂ = 9,5·0,3333 = 3,167

Atsakymas

E₂ = 3,167
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −20,64 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (4·7,5² + 8·9,5²)/12 = 78,92
sp = 8,884

Paklaidos riba

E = 3,055·8,884·√(1/5 + 1/9) = 15,14

Intervalas

−5,5 ± 15,14 → [−20,64, 9,637]

Atsakymas

apatinis rėžis = −20,64 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,202

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 5,4/√13 = 1,498

Testo statistika

t = −1,8/1,498 = −1,202

Atsakymas

t = −1,202

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 83,5 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 50 + 2,326·0,5 = 51,16

z esant tikrajam vidurkiui

z = (51,16 − 51,65)/0,5 = −0,974

Galia

galia = P(Z > −0,974) = 83,5%
1 − β = 83,5%

Atsakymas

1 − β = 83,5%
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9611

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 417 − 21·130/6 = −38
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2906 − 130²/6 = 89,33

Koreliacijos koeficientas

r = −38/√(17,5·89,33) = −0,9611

Atsakymas

r = −0,9611
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −5

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 336/6 = 56

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Regresijos tiesė

b = 210/70 = 3
a = 56 − 3·23 = −13
ŷ = −13 + 3·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −13 + 3·19 = 44

Liekana

e = 39 − 44 = −5

Atsakymas

e = −5

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 18,32

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
placebas: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14

Chi kvadrato statistika

χ² = (29 − 39)²/39 + (31 − 21)²/21 + (36 − 26)²/26 + (4 − 14)²/14
χ² = 18,32

Atsakymas

χ² = 18,32

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 15,51

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Lentelė

χ²crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

Atsakymas

χ²crit = 15,507

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology