Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Tobulame normaliajame skirstinyje:
- AVidurkis visada didesnis už medianą
- BDauguma įverčių yra uodegose
- CModa yra mažiausias įvertis
- DVidurkis, mediana ir moda lygūs
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Koks pagrindinis atsitiktinio priskyrimo sąlygoms tikslas eksperimente?
- APadidinti atsakymų dažnį
- BTolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
- CPadaryti imtį reprezentatyvią tiksliniai populiacijai, kad rezultatus būtų galima apibendrinti
- DUžtikrinti, kad dalyviai nežinotų tikslo
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 22, 14, 53, 19, 19, 44.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 65?
μ = 50σ = 10x = 65
P =
5.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 5 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
5 / 4
P =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25Y = 10X + 1
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 30,5 ir 36,8 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 36,8
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 elementų imties vidurkis – 53, standartinis nuokrypis s = 15. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 16x̄ = 53s = 1590%t(15) = 1,753
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 18E = 499%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 497,1, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,1s = 8n = 36
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 2,599%
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 42Σy = 107Σx² = 364Σy² = 2311Σxy = 914
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Vidurkis, mediana ir moda lygūs
Kodėl tai yra atsakymas
Normalusis skirstinys simetriškas ir varpo formos, todėl visi trys centrinės tendencijos matai yra centre.
Atsakymas
D · Vidurkis, mediana ir moda lygūs
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: B · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
Kodėl tai yra atsakymas
Atsitiktinis priskyrimas subalansuoja individualius skirtumus tarp sąlygų ir padeda daryti priežastines išvadas. Atsitiktinė atranka susijusi su apibendrinimu populiacijai.
Atsakymas
B · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,96
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 171/6 = 28,5
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−6,5)² + (−14,5)² + 24,5² + (−9,5)² + (−9,5)² + 15,5² = 1274
Standartinis nuokrypis
s = √(1274/5) = 15,96
Atsakymas
s = 15,96
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,9332
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2778
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778
Atsakymas
P = 0,2778
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 95,39
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 27, Var(X) = 91, σX = 9,539
Tiesinis pokytis
σY = |10|·9,539 = 95,39
Atsakymas
σY = 95,39
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·27 + 1 = 271.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,3869
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
Plotas tarp
P = Φ(0,8) − Φ(−0,25) = 0,7881 − 0,4013 = 0,3869
Atsakymas
P = 0,3869
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7389
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartizuokite
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Atsakymas
P = 0,7389
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 59,57
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Paklaidos riba
E = 1,753·15/√16 = 6,574
Intervalas
53 ± 6,574 → [46,43, 59,57]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 59,57
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 135
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·18/4)² = 134,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 135
Atsakymas
n = 135
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,175
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Testo statistika
t = (497,1 − 500)/1,333 = −2,175
Atsakymas
t = −2,175
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 27
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·5/2,5)² = 26,54
Apvalinkite aukštyn
n = 27
Atsakymas
n = 27
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9826
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 914 − 42·107/6 = 165
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2311 − 107²/6 = 402,8
Koreliacijos koeficientas
r = 165/√(70·402,8) = 0,9826
Atsakymas
r = 0,9826
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 46,52
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 358/6 = 59,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230
Regresijos tiesė
b = 230/70 = 3,286
a = 59,67 − 3,286·7 = 36,67
ŷ = 36,67 + 3,286·x
Prognozė
ŷ = 36,67 + 3,286·3 = 46,52
Atsakymas
ŷ = 46,52
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 15,33
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
dieninė pamaina: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36
naktinė pamaina: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18
Chi kvadrato statistika
χ² = (10 − 12)²/12 + (24 − 32)²/32 + (46 − 36)²/36 + (8 − 6)²/6 + (24 − 16)²/16 + (8 − 18)²/18
χ² = 15,33
Atsakymas
χ² = 15,33
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 9,488
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
Lentelė
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Atsakymas
χ²crit = 9,488
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology