Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kodėl stebėjimo elgesio kategorijos operacionalizuojamos prieš renkant duomenis?

AKad dalyviai tiksliai žinotų, kas registruojama
BKad stebėtojai nuosekliai registruotų tą patį elgesį ir didėtų patikimumas
CKad pamačius duomenis būtų galima pakeisti hipotezę
DKad stebėjimas taptų eksperimentu

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

„Replikacijos krizė" psichologijoje reiškia:

AKlausimynų kopijavimą be leidimo
BDalyvių eksperimentams trūkumą
CKad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
DTai, kad įstatymas įpareigoja žurnalus atmesti visus pateiktus replikacijos tyrimus

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 25, 40, 27, 48, 49.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 110?

μ = 100σ = 5x = 110

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,1, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,15, 0,35, 0,05Y = 0,5X + 10

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 20 ir 35,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 35,3

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 elementų imties vidurkis – 97, standartinis nuokrypis s = 17. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 10x̄ = 97s = 1795%t(9) = 2,262

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 12 sklypų, vidutinis derlius 69 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. 2 sklypų grupė: 10 sklypų, vidurkis 62,5 kg, standartinis nuokrypis 1 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 12x̄₁ = 69s₁ = 9,5n₂ = 10x̄₂ = 62,5s₂ = 195%t(20) = 2,086

E = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 73,24, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,24s = 4n = 25

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 55,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 55,8σ = 12n = 2599%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 95?

n = 6ŷ = 95

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Kad stebėtojai nuosekliai registruotų tą patį elgesį ir didėtų patikimumas

Kodėl tai yra atsakymas

Aiškios, stebimos kategorijos (pvz., „suduoda atvira delnu“) mažina subjektyvų vertinimą ir didina stebėtojų tarpusavio patikimumą.

Atsakymas

B · Kad stebėtojai nuosekliai registruotų tą patį elgesį ir didėtų patikimumas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

Kodėl tai yra atsakymas

Dideli replikacijos projektai nustatė, kad daugelis poveikių yra mažesni arba jų nėra; tai susiję su publikavimo šališkumu, mažomis imtimis ir lanksčia analize. Vienas iš atsakų – išankstinė registracija.

Atsakymas

C · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,76

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 218/6 = 36,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + (−11,33)² + 3,667² + (−9,333)² + 11,67² + 12,67² = 579,3

Standartinis nuokrypis

s = √(579,3/5) = 10,76

Atsakymas

s = 10,76

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,532

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,1 + 5·0,25 = 2,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,1 + 25·0,25 = 11,05

Dispersija

Var(X) = 11,05 − 2,95² = 2,348

σ = √2,348 = 1,532

Atsakymas

σ = 1,532

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 0,6495

X sklaida

μ = 1,75, Var(X) = 1,688, σ_X = 1,299

Tiesinis pokytis

σ_Y = |0,5|·1,299 = 0,6495

Atsakymas

σ_Y = 0,6495

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·1,75 + 10 = 10,88.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6861

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Plotas tarp

P = Φ(0,55) − Φ(−2) = 0,7088 − 0,02275 = 0,6861

Atsakymas

P = 0,6861

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 12,16

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Paklaidos riba

E = 2,262·17/√10 = 12,16

Atsakymas

E = 12,16

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 6,321 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (11·9,5² + 9·1²)/20 = 50,09

s_p = 7,077

Paklaidos riba

E = 2,086·7,077·√(1/12 + 1/10) = 6,321

Atsakymas

E = 6,321 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Testo statistika

t = (73,24 − 75)/0,8 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 61,98

Paklaidos riba

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Intervalo rėžis

U = 55,8 + 6,182 = 61,98

Atsakymas

U = 61,98

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9145

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 109,3

Koreliacijos koeficientas

r = −40/√(17,5·109,3) = −0,9145

Atsakymas

r = −0,9145

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 8,105

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 566/6 = 94,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 446

Regresijos tiesė

b = 446/70 = 6,371

a = 94,33 − 6,371·8 = 43,36

ŷ = 43,36 + 6,371·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (95 − 43,36)/6,371 = 8,105

Atsakymas

x = 8,105

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 9,855

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 80·90/180 = 40, 80·45/180 = 20, 80·45/180 = 20

naktinė pamaina: 100·90/180 = 50, 100·45/180 = 25, 100·45/180 = 25

Chi kvadrato statistika

χ² = (45 − 40)²/40 + (24 − 20)²/20 + (11 − 20)²/20 + (45 − 50)²/50 + (21 − 25)²/25 + (34 − 25)²/25

χ² = 9,855

Atsakymas

χ² = 9,855

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 14,48

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 75, 25

amžius 31–50: 30, 10

amžius 51+: 45, 15

Chi kvadrato statistika

χ² = (78 − 75)²/75 + (22 − 25)²/25 + (21 − 30)²/30 + (19 − 10)²/10 + (51 − 45)²/45 + (9 − 15)²/15

χ² = 14,48

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

14,48 > 9,210

Atsakymas

χ² = 14,48

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology