Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris planas kiekvienoje sąlygoje naudoja skirtingus dalyvius?

ASuporuotų porų planas su tais pačiais žmonėmis
BNepriklausomų grupių planas
CVidinių tiriamųjų planas
DPakartotinių matavimų planas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrime dviem vienodo dydžio nepriklausomoms grupėms nurodoma t(28) = 2,50, p = .018. Kiek dalyvių dalyvavo?

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 22, 54, 33, 21, 17, 59.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 66?

μ = 70σ = 5x = 66

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 6 raudoni ir 7 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 7

P =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 10p = 0,1k = 4

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9265. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9265

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

21 elementų imties vidurkis – 88,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 21x̄ = 88,5s = 13,590%t(20) = 1,725

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 11 sklypų, vidutinis derlius 60 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 71,5 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 11x̄₁ = 60s₁ = 4,5n₂ = 6x̄₂ = 71,5s₂ = 5,590%t(15) = 1,753

viršutinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 77, standartinis nuokrypis 3. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 80,5, standartinis nuokrypis 12. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 6x̄₁ = 77s₁ = 3n₂ = 10x̄₂ = 80,5s₂ = 12

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,10, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 20. Iš tikrųjų vidurkis lygus 505,5. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 500μ = 505,5σ = 20n = 64α = 0,10

1 − β = %

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 66?

n = 5ŷ = 66

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 85stulpelio suma = 50N = 164

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 1403 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Nepriklausomų grupių planas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų grupių plane kiekviena sąlyga turi skirtingus dalyvius; taip išvengiama eilės efektų, bet atsiranda dalyvių kintamųjų rizika.

Atsakymas

B · Nepriklausomų grupių planas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · 30

Kodėl tai yra atsakymas

28 laisvės laipsniai reiškia 28 + 2 = 30 dalyvių, po 15 kiekvienoje grupėje.

Atsakymas

C · 30

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,72

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 248/7 = 35,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6,571² + (−13,43)² + 18,57² + (−2,429)² + (−14,43)² + (−18,43)² + 23,57² = 1678

Standartinis nuokrypis

s = √(1678/6) = 16,72

Atsakymas

s = 16,72

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1923

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Atsakymas

P = 0,1923

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,01116

Binominė formulė

P(X = 4) = 210·0,1⁴·0,9⁶ = 210·0,0001·0,5314 = 0,01116

Atsakymas

P = 0,01116

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,79

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9265)/2 = 0,9633

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9633 ir nuskaitykite z.

z = 1,79

Atsakymas

z = 1,79

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8665

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Atsakymas

P = 0,8665

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,082

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Paklaidos riba

E = 1,725·13,5/√21 = 5,082

Atsakymas

E = 5,082

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −7,179 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (10·4,5² + 5·5,5²)/15 = 23,58

s_p = 4,856

Paklaidos riba

E = 1,753·4,856·√(1/11 + 1/6) = 4,321

Intervalas

−11,5 ± 4,321 → [−15,82, −7,179]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −7,179 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,6925

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (5·3² + 9·12²)/14 = 95,79

s_p = 9,787

Standartinė paklaida

SE = 9,787·√(1/6 + 1/10) = 5,054

Testo statistika

t = (77 − 80,5)/5,054 = −0,6925

Atsakymas

t = −0,6925

Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 82,07 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 500 + 1,282·2,5 = 503,2

z esant tikrajam vidurkiui

z = (503,2 − 505,5)/2,5 = −0,918

Galia

galia = P(Z > −0,918) = 82,07%

1 − β = 82,07%

Atsakymas

1 − β = 82,07%

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9536

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 387/5 = 77,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 635,2

Koreliacijos koeficientas

r = 152/√(40·635,2) = 0,9536

Atsakymas

r = 0,9536

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,945

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 354/5 = 70,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182

Regresijos tiesė

b = 182/40 = 4,55

a = 70,8 − 4,55·6 = 43,5

ŷ = 43,5 + 4,55·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (66 − 43,5)/4,55 = 4,945

Atsakymas

x = 4,945

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 25,91

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 85·50/164 = 25,91

Atsakymas

E = 25,91

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 10,31

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 16, 24

amžius 31–50: 16, 24

amžius 51+: 24, 36

Chi kvadrato statistika

χ² = (10 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24 + (13 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (33 − 24)²/24 + (27 − 36)²/36

χ² = 10,31

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

10,31 > 9,210

Atsakymas

χ² = 10,31

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology