Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Tyrimas yra iš anksto užregistruotas (preregistered). Tai reiškia, kad:
- ATyrimas jau paskelbtas
- BHipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
- CDalyviai savo sutikimą registruoja internetu
- DRezultatus prieš paskelbimą patikrino ir patvirtino antras, nepriklausomas statistikas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrimas tarp vien profesionalių krepšininkų nustato ūgio ir IQ koreliaciją r = 0,05, nors bendrojoje populiacijoje ji didesnė. Kas geriausiai paaiškina silpną koreliaciją?
- ARegresija į vidurkį
- BIQ testų lubų efektas
- CUžduoties reikalavimų požymiai
- DDiapazono ribojimas
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 53, 10, 32, 58, 38, 56.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 96 z įvertį z.
μ = 100σ = 5x = 96
z =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,6, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 10p = 0,6k = 5
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8715. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8715
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 20 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 elementų imties vidurkis – 106,5, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 20x̄ = 106,5s = 395%t(19) = 2,093
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 24. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 24E = 495%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 48,2, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,2s = 8n = 64
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 52,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 52,8σ = 12n = 10099%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 21Σy = 79Σx² = 91Σy² = 1181Σxy = 228
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 6,5.
n = 6x = 6,5
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 8 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: B · Hipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
Kodėl tai yra atsakymas
Išankstinė registracija atskiria patvirtinamąsias analizes nuo žvalgomųjų ir mažina tokias praktikas kaip p-hacking ir HARKing.
Atsakymas
B · Hipotezės, metodai ir analizės planas viešai užfiksuoti prieš renkant duomenis
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Diapazono ribojimas
Kodėl tai yra atsakymas
Kai imtis apima tik siaurą kintamojo diapazoną, su juo susijusios koreliacijos sumažėja. Visi krepšininkai aukšti, todėl ūgis mažai kinta.
Atsakymas
D · Diapazono ribojimas
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,49
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 247/6 = 41,17
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 11,83² + (−31,17)² + (−9,167)² + 16,83² + (−3,167)² + 14,83² = 1709
Standartinis nuokrypis
s = √(1709/5) = 18,49
Atsakymas
s = 18,49
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −0,8
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (96 − 100)/5 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
5.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,34
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,4
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,3
Dispersija
Var(X) = 3,3 − 1,4² = 1,34
Atsakymas
Var(X) = 1,34
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2007
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 5) = 252·0,65·0,45 = 252·0,07776·0,01024 = 0,2007
Atsakymas
P = 0,2007
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,52
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8715)/2 = 0,9357
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9357 ir nuskaitykite z.
z = 1,52
Atsakymas
z = 1,52
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 466 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Atsakymas
x = 466 h
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,404
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Paklaidos riba
E = 2,093·3/√20 = 1,404
Atsakymas
E = 1,404
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 139
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·24/4)² = 138,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 139
Atsakymas
n = 139
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Testo statistika
t = (48,2 − 50)/1 = −1,8
Atsakymas
t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 49,71
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·12/√100 = 3,091
Intervalo rėžis
L = 52,8 − 3,091 = 49,71
Atsakymas
L = 49,71
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9769
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 228 − 21·79/6 = −48,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1181 − 79²/6 = 140,8
Koreliacijos koeficientas
r = −48,5/√(17,5·140,8) = −0,9769
Atsakymas
r = −0,9769
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 52,18
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 298/6 = 49,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22
Regresijos tiesė
b = 22/17,5 = 1,257
a = 49,67 − 1,257·4,5 = 44,01
ŷ = 44,01 + 1,257·x
Prognozė
ŷ = 44,01 + 1,257·6,5 = 52,18
Atsakymas
ŷ = 52,18
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 3,886
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
studentai: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21
darbuotojai: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35
Chi kvadrato statistika
χ² = (14 − 12)²/12 + (21 − 27)²/27 + (25 − 21)²/21 + (18 − 20)²/20 + (51 − 45)²/45 + (31 − 35)²/35
χ² = 3,886
Atsakymas
χ² = 3,886
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 18,48
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 8 − 1 = 7
Lentelė
χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475
Atsakymas
χ²crit = 18,475
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology