Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Tyrėjas lygina vaikų agresiją prieš ir po to, kai atokiame miestelyje atsiranda televizija. Tyrėjas televizijos atsiradimo nekontroliavo. Tai yra:
- ALaboratorinis eksperimentas
- BNatūralusis eksperimentas
- CTelevizijos žiūrėjimo koreliacinė apklausa
- DLauko eksperimentas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Du stebėtojai žaidimų aikštelėje registruoja agresyvius veiksmus, ir jų skaičiai koreliuoja r = 0,45. Ką turėtų daryti tyrėjas?
- ANaudoti tik didesnįjį iš dviejų skaičių
- BPereiti prie vienpusės hipotezės
- CPriimti duomenis, nes pakanka bet kokios teigiamos koreliacijos
- DPatikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 48, 36, 45, 47, 46, 46.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 176?
μ = 170σ = 15x = 176
P =
5.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 8
P =
6.TikimybėSunkus
Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 7p = 0,3k = 4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9312. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9312
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.25%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,7, o standartinis nuokrypis 5,2. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 15d̄ = 9,7sd = 5,290%t(14) = 1,761
viršutinis rėžis = mmHg
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?
p ≈ 0,1E = 0,0499%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 42 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 6 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 49,2 mm, žinomas standartinis nuokrypis 20 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 100x̄₁ = 42 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 50x̄₂ = 49,2 mmσ₂ = 20 mm
z =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 18. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 90%δ = 4σ = 18zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, nežymus“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 65stulpelio suma = 34N = 128
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: B · Natūralusis eksperimentas
Kodėl tai yra atsakymas
Natūraliajame eksperimente NK kinta dėl įvykių, kurių tyrėjas nekontroliuoja. Ekologinis validumas didelis, bet atsitiktinis paskirstymas neįmanomas.
Atsakymas
B · Natūralusis eksperimentas
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
Kodėl tai yra atsakymas
Mažas stebėtojų tarpusavio patikimumas reiškia, kad kategorijos taikomos nenuosekliai. Aiškesni operaciniai apibrėžimai ir treniruotės turėtų padidinti sutarimą prieš pagrindinį duomenų rinkimą.
Atsakymas
D · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 4,367
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 268/6 = 44,67
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 3,333² + (−8,667)² + 0,3333² + 2,333² + 1,333² + 1,333² = 95,33
Standartinis nuokrypis
s = √(95,33/5) = 4,367
Atsakymas
s = 4,367
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,3446
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,7674
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Atsakymas
P = 0,7674
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,09724
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 4) = 35·0,34·0,73 = 35·0,0081·0,343 = 0,09724
Atsakymas
P = 0,09724
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,82
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9312)/2 = 0,9656
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9656 ir nuskaitykite z.
z = 1,82
Atsakymas
z = 1,82
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 110,1 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,75
z iš lentelės
z ≈ 0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 tšk.
Atsakymas
x = 110,1 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 12,06 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 1,761
Paklaidos riba
E = 1,761·5,2/√15 = 2,364
Intervalas
9,7 ± 2,364 → [7,336, 12,06]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 12,06 mmHg
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 374
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 2,576²·0,1·0,9/0,04² = 373,3
Apvalinkite aukštyn
n = 374
Atsakymas
n = 374
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,49
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(6²/100 + 20²/50) = √8,36 = 2,891
Testo statistika
z = (42 − 49,2)/2,891 = −2,49
Atsakymas
z = −2,49
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 264
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,282)·18/4)² = 263,6
Apvalinkite aukštyn
n = 264
Atsakymas
n = 264
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9453
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115,2
Determinacijos koeficientas
r² = −33²/(10·115,2) = 0,9453
Atsakymas
r² = 0,9453
Apie 94,53% y kitimo paaiškinama tiese.
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 30,36
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 147/6 = 24,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 205
Regresijos tiesė
b = 205/70 = 2,929
a = 24,5 − 2,929·7 = 4
ŷ = 4 + 2,929·x
Prognozė
ŷ = 4 + 2,929·9 = 30,36
Atsakymas
ŷ = 30,36
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 17,27
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 65·34/128 = 17,27
Atsakymas
E = 17,27
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 5,991
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 4 − 1 − 1 = 2
Lentelė
χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991
Atsakymas
χ²crit = 5,991
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology