Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris testas tinka dviejų nepriklausomų grupių vidurkiams palyginti, kai intervaliniai duomenys pasiskirstę apytiksliai normaliai?

APirsono koreliacija
BChi kvadrato testas
CVilkoksono ženklų rangų testas
DNepriklausomų imčių t testas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Kodėl daugelis tyrėjų teigia, kad p reikšmes reikėtų pateikti kartu su poveikio dydžiais ir pasikliautinaisiais intervalais?

ADėl poveikio dydžių imties dydis tampa nesvarbus reikšmingumui
BPasikliautinieji intervalai reikalingi tik kokybiniuose tyrimuose
CP reikšmės rodo tikimybę, kad hipotezė teisinga
DP reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 26, 40, 35, 19, 28.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 612,5?

μ = 500σ = 75x = 612,5

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 7 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

7 / 6

P =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €5 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€5: p = 0,3€20: p = 0,02

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,4 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,4 mm

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 25 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.25%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 138 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 131 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 50x̄₁ = 138 hσ₁ = 8 hn₂ = 50x̄₂ = 131 hσ₂ = 11 h90%

E = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4,7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.

n = 21s = 4,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 198,7, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,7s = 15n = 100

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 74,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 74,7σ = 8n = 2590%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 25,5.

n = 5x = 25,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 8 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Nepriklausomų imčių t testas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų imčių t testas lygina du grupių vidurkius. Chi kvadratas skirtas dažniams; Vilkoksono testas – priklausomoms imtims su neparametriniais duomenimis.

Atsakymas

D · Nepriklausomų imčių t testas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

Kodėl tai yra atsakymas

P reikšmė labai priklauso nuo imties dydžio ir tik parodo, kiek duomenys netikėti esant nulinei hipotezei. Poveikio dydžiai rodo mastą, o intervalai – tikslumą.

Atsakymas

D · P reikšmė neparodo, koks didelis ar tikslus yra poveikis

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 8,142

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 148/5 = 29,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−3,6)² + 10,4² + 5,4² + (−10,6)² + (−1,6)² = 265,2

Standartinis nuokrypis

s = √(265,2/4) = 8,142

Atsakymas

s = 8,142

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2692

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Atsakymas

P = 0,2692

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,9 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 4 (p = 0,3), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)

Laukiamoji vertė

E(G) = 4·0,3 + 19·0,02 − 1·0,68 = 0,9 €

Atsakymas

E(G) = 0,9 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2119

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 58,3 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,25

z iš lentelės

z ≈ −0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 tšk.

Atsakymas

x = 58,3 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,164 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 138 − 131 = 7

Standartinė paklaida

SE = √(8²/50 + 11²/50) = 1,924

Paklaidos riba

E = 1,645·1,924 = 3,164

Atsakymas

E = 3,164 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 6,787 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 20·4,7² = 441,8

σ² rėžiai

441,8/34,17 = 12,93

441,8/9,591 = 46,06

σ rėžis

σ = √46,06 = 6,787 µm

Atsakymas

σ = 6,787 µm

σ 95 % intervalas: [3,596, 6,787] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,8667

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Testo statistika

t = (198,7 − 200)/1,5 = −0,8667

Atsakymas

t = −0,8667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 77,33

Paklaidos riba

E = 1,645·8/√25 = 2,632

Intervalo rėžis

U = 74,7 + 2,632 = 77,33

Atsakymas

U = 77,33

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,969

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 101/6 = 16,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 284,8

Determinacijos koeficientas

r² = 139²/(70·284,8) = 0,969

Atsakymas

r² = 0,969

Apie 96,9% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 127,4

Vidurkiai

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 596/5 = 119,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 492

Regresijos tiesė

b = 492/90 = 5,467

a = 119,2 − 5,467·24 = −12

ŷ = −12 + 5,467·x

Prognozė

ŷ = −12 + 5,467·25,5 = 127,4

Atsakymas

ŷ = 127,4

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,1778

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14

kaimo: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35

Chi kvadrato statistika

χ² = (8 − 8)²/8 + (19 − 18)²/18 + (13 − 14)²/14 + (20 − 20)²/20 + (44 − 45)²/45 + (36 − 35)²/35

χ² = 0,1778

Atsakymas

χ² = 0,1778

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 14,07

Laisvės laipsniai

df = 8 − 1 = 7

Lentelė

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Atsakymas

χ²_crit = 14,067

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology