Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuri statistika tinka dviejų rangų rinkinių ryšiui, pvz., teisėjų paveikslų reitingams?

  1. APearsono r
  2. BChi kvadratas
  3. CSpearmano rho
  4. DNepriklausomų imčių t testas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

„Intelekto“ testas daugiausia matuoja, kaip greitai žmonės spausdina. Kurio validumo tipo akivaizdžiausiai trūksta?

  1. AKonstrukto validumo
  2. BVidinio suderinamumo
  3. CVertintojų tarpusavio patikimumo
  4. DTesto ir pakartotinio testo patikimumo
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
3638404244464850

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 36, 42, 46, 51.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Raskite rezultato 536 z įvertį z.

μ = 500σ = 60x = 536
z =
5.TikimybėVidutinis
n = 15k = 4N = ?

Keliais būdais N iš 15 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 15k = 4
N =
6.TikimybėSunkus
xp(x)10,120,1530,3540,0550,35μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,35, 0,05, 0,35Y = −2X + 20
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
750 g740,2 gX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 740,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740,2 g
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?99%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 13,5L = ?Ux̄ = 113E90%

13 elementų imties vidurkis – 113, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 13x̄ = 113s = 13,590%t(12) = 1,782
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 16Lσ = ?s = 2,995%

16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 2,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.

n = 16s = 2,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,2, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,2s = 15n = 81
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

16 matavimų imties vidurkis – 502,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 502,6σ = 5n = 1695%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy128223325423520618xy2462025

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy1393525617639731186xy510406080x = 2

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2.

n = 6x = 2
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji10317120nerūkantieji144660Iš viso11763180

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 3 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Spearmano rho

Kodėl tai yra atsakymas

Spearmano rangų koreliacija matuoja monotoninio ryšio tarp dviejų ranguotų ar ranginių kintamųjų stiprumą.

Atsakymas

C · Spearmano rho
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Konstrukto validumo

Kodėl tai yra atsakymas

Konstrukto validumas – ar matas iš tikrųjų atspindi pagrindinį konstruktą. Testas gali būti patikimas, nors matuoja ne tai.

Atsakymas

A · Konstrukto validumo
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 6,496

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 211/5 = 42,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−6,2)² + (−6,2)² + (−0,2)² + 3,8² + 8,8² = 168,8

Standartinis nuokrypis

s = √(168,8/4) = 6,496

Atsakymas

s = 6,496
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,6

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (536 − 500)/60 = 0,6

Atsakymas

z = 0,6
5.Tikimybė

Atsakymas: N = 1365

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Atsakymas

N = 1365
6.Tikimybė

Atsakymas: σY = 2,713

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 3,4, Var(X) = 1,84, σX = 1,356

Tiesinis pokytis

σY = |−2|·1,356 = 2,713

Atsakymas

σY = 2,713

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·3,4 + 20 = 13,2.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 593,1 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Atsakymas

x = 593,05 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 106,3

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Paklaidos riba

E = 1,782·13,5/√13 = 6,672

Intervalas

113 ± 6,672 → [106,3, 119,7]

Atsakymas

apatinis rėžis = 106,3
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 4,488 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 15·2,9² = 126,1

σ² rėžiai

126,1/27,488 = 4,589
126,1/6,262 = 20,15

σ rėžis

σ = √20,15 = 4,488 µm

Atsakymas

σ = 4,488 µm

σ 95 % intervalas: [2,142, 4,488] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,72

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Testo statistika

t = (201,2 − 200)/1,667 = 0,72

Atsakymas

t = 0,72
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 505,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Intervalo rėžis

U = 502,6 + 2,45 = 505,1

Atsakymas

U = 505,1
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,846

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 137/6 = 22,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 62,83

Determinacijos koeficientas

r² = −30,5²/(17,5·62,83) = 0,846

Atsakymas

r² = 0,846

Apie 84,6% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 45,19

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 374/6 = 62,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300

Regresijos tiesė

b = 300/70 = 4,286
a = 62,33 − 4,286·6 = 36,62
ŷ = 36,62 + 4,286·x

Prognozė

ŷ = 36,62 + 4,286·2 = 45,19

Atsakymas

ŷ = 45,19
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 68,68

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 120·117/180 = 78, 120·63/180 = 42
nerūkantieji: 60·117/180 = 39, 60·63/180 = 21

Chi kvadrato statistika

χ² = (103 − 78)²/78 + (17 − 42)²/42 + (14 − 39)²/39 + (46 − 21)²/21
χ² = 68,68

Atsakymas

χ² = 68,68

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 9,21

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Lentelė

χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Atsakymas

χ²crit = 9,210

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology