Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Teigiamai asimetriškame skirstinyje, pvz., pajamų:

AKraštutinių įverčių nėra
BVidurkis ir mediana visada lygūs
CVidurkis mažesnis už medianą
DVidurkis didesnis už medianą

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

„Replikacijos krizė" psichologijoje reiškia:

ATai, kad įstatymas įpareigoja žurnalus atmesti visus pateiktus replikacijos tyrimus
BKlausimynų kopijavimą be leidimo
CDalyvių eksperimentams trūkumą
DKad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 24, 47, 58, 43, 17, 30.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 77,5 z įvertį z.

μ = 100σ = 15x = 77,5

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,25, 0,1, 0,3Y = 3X − 3

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 8 iš jų bendra masė viršija 200,7 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 200,7 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 elementų imties vidurkis – 13,5, standartinis nuokrypis s = 6. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 10x̄ = 13,5s = 699%t(9) = 3,25

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 23. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 23E = 299%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 502,1, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 12n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 5E = 190%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 3 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Vidurkis didesnis už medianą

Kodėl tai yra atsakymas

Kelios labai didelės reikšmės dešinėje uodegoje pakelia vidurkį virš medianos, todėl asimetriškiems duomenims dažnai nurodoma mediana.

Atsakymas

D · Vidurkis didesnis už medianą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

Kodėl tai yra atsakymas

Dideli replikacijos projektai nustatė, kad daugelis poveikių yra mažesni arba jų nėra; tai susiję su publikavimo šališkumu, mažomis imtimis ir lanksčia analize. Vienas iš atsakų – išankstinė registracija.

Atsakymas

D · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,11

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 255/7 = 36,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−0,4286)² + (−12,43)² + 10,57² + 21,57² + 6,571² + (−19,43)² + (−6,429)² = 1194

Standartinis nuokrypis

s = √(1194/6) = 14,11

Atsakymas

s = 14,11

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (77,5 − 100)/15 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 2,39

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 2·0,2 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,2 + 16·0,2 + 36·0,35 = 16,6

Dispersija

Var(X) = 16,6 − 3,3² = 5,71

σ = √5,71 = 2,39

Atsakymas

σ = 2,39

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 4,477

X sklaida

μ = 2,15, Var(X) = 2,228, σ_X = 1,492

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·1,492 = 4,477

Atsakymas

σ_Y = 4,477

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·2,15 − 3 = 3,45.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3121

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Standartizuokite

z = (200,7 − 200)/1,414 = 0,49

Tikimybė

P = 1 − Φ(0,49) = 0,3121

Atsakymas

P = 0,3121

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 183,9 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,8

z iš lentelės

z ≈ 0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Atsakymas

x = 183,9 cm

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 6,166

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Paklaidos riba

E = 3,25·6/√10 = 6,166

Atsakymas

E = 6,166

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 878

Išreikškite n

n = (2,576·23/2)² = 877,6

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 878

Atsakymas

n = 878

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (502,1 − 500)/3 = 0,7

Atsakymas

t = 0,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 68

Išreikškite n

n = (1,645·5/1)² = 67,65

Apvalinkite aukštyn

n = 68

Atsakymas

n = 68

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9509

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 131/6 = 21,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 108,8

Koreliacijos koeficientas

r = −41,5/√(17,5·108,8) = −0,9509

Atsakymas

r = −0,9509

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 78,65

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 331/5 = 66,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

Regresijos tiesė

b = 166/40 = 4,15

a = 66,2 − 4,15·6 = 41,3

ŷ = 41,3 + 4,15·x

Prognozė

ŷ = 41,3 + 4,15·9 = 78,65

Atsakymas

ŷ = 78,65

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,52

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10

kaimo: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25

Chi kvadrato statistika

χ² = (16 − 20)²/20 + (11 − 10)²/10 + (13 − 10)²/10 + (54 − 50)²/50 + (24 − 25)²/25 + (22 − 25)²/25

χ² = 2,52

Atsakymas

χ² = 2,52

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 5,991

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Lentelė

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Atsakymas

χ²_crit = 5,991

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology