Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Studentas surenka 130 taškų teste, kurio vidurkis 100, o standartinis nuokrypis 15. Koks jo z įvertis?

A1,5
B3,0
C2,0
D0,5

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėja lygina tris ar daugiau grupių vidurkius. Kodėl ji naudoja vienfaktorę dispersinę analizę, o ne kelis t testus?

At testams reikia kokybinių duomenų
BKeli t testai padidina bendrą I rūšies klaidų tikimybę
CDispersinė analizė (ANOVA) visada randa didesnį poveikį nei analogiškas t testų rinkinys
Dt testai negali apdoroti skaičių, didesnių nei 100

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 53, 47, 56, 50, 60.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 76 z įvertį z.

μ = 70σ = 10x = 76

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,15, 0,2

σ =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €15 su tikimybe 0,3 ir €150 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€15: p = 0,3€150: p = 0,02

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 240 ir 256,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 256,25

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

15 elementų imties vidurkis – 73, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 15x̄ = 73s = 395%t(14) = 2,145

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.

n = 21s = 8,8 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 203,9, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 8n = 36

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 2,599%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 92Σx² = 91Σy² = 1558Σxy = 272

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, nežymus“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 53stulpelio suma = 41N = 126

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · 2,0

Kodėl tai yra atsakymas

(130 − 100) / 15 = 2. Įvertis yra dviem standartiniais nuokrypiais virš vidurkio, didesnis nei maždaug 97–98% žmonių.

Atsakymas

C · 2,0

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Keli t testai padidina bendrą I rūšies klaidų tikimybę

Kodėl tai yra atsakymas

Daug porinių testų padaugina klaidingai teigiamo rezultato tikimybę. ANOVA tikrina visas grupes kartu, o po jos atliekami pakoreguoti post hoc testai.

Atsakymas

B · Keli t testai padidina bendrą I rūšies klaidų tikimybę

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 5,07

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 266/5 = 53,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−0,2)² + (−6,2)² + 2,8² + (−3,2)² + 6,8² = 102,8

Standartinis nuokrypis

s = √(102,8/4) = 5,07

Atsakymas

s = 5,07

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,6

Standartizuokite

z = (76 − 70)/10 = 0,6

Atsakymas

z = 0,6

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,195

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,15 + 5·0,2 = 3,15

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,15 + 25·0,2 = 11,35

Dispersija

Var(X) = 11,35 − 3,15² = 1,428

σ = √1,428 = 1,195

Atsakymas

σ = 1,195

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 4,5 €

Grynosios baigtys

G: 12 (p = 0,3), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

Laukiamoji vertė

E(G) = 12·0,3 + 147·0,02 − 3·0,68 = 4,5 €

Atsakymas

E(G) = 4,5 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8716

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−2) = 0,8944 − 0,02275 = 0,8716

Atsakymas

P = 0,8716

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 77,82 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Atgal į x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 tšk.

Atsakymas

x = 77,82 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,662

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Paklaidos riba

E = 2,145·3/√15 = 1,662

Atsakymas

E = 1,662

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 6,732 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 20·8,8² = 1549

σ² rėžiai

1549/34,17 = 45,33

1549/9,591 = 161,5

σ rėžis

σ = √45,33 = 6,732 µm

Atsakymas

σ = 6,732 µm

σ 95 % intervalas: [6,732, 12,71] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,925

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (203,9 − 200)/1,333 = 2,925

Atsakymas

t = 2,925

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 107

Išreikškite n

n = (2,576·10/2,5)² = 106,2

Apvalinkite aukštyn

n = 107

Atsakymas

n = 107

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9847

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 272 − 21·92/6 = −50

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1558 − 92²/6 = 147,3

Koreliacijos koeficientas

r = −50/√(17,5·147,3) = −0,9847

Atsakymas

r = −0,9847

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 17,93

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27,5

Regresijos tiesė

b = −27,5/17,5 = −1,571

a = 19,5 − (−1,571)·3,5 = 25

ŷ = 25 − 1,571·x

Prognozė

ŷ = 25 + (−1,571)·4,5 = 17,93

Atsakymas

ŷ = 17,93

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 17,25

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 53·41/126 = 17,25

Atsakymas

E = 17,25

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 3,819

Tikėtini dažniai

linija 1: 24, 16

linija 2: 24, 16

linija 3: 36, 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (25 − 24)²/24 + (15 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16 + (40 − 36)²/36 + (20 − 24)²/24

χ² = 3,819

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,819 < 5,991

Atsakymas

χ² = 3,819

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology