Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Koreliacijoje r = 0,40. Kokia vieno kintamojo dispersijos dalis bendra su kitu?

  1. A40%
  2. B4%
  3. C60%
  4. D16%
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Metaanalizė sujungia 40 terapijos tyrimų. Kodėl jos bendras poveikio dydis vis tiek gali būti per didelis?

  1. ATyrimų sujungimas visada pašalina bet kokį šališkumą
  2. BĮ metaanalizes negalima įtraukti atsitiktinių imčių tyrimų
  3. CDėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų
  4. DMetaanalizės visada duoda mažesnius poveikius nei jų įtraukti pavieniai tyrimai
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
20253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 53, 18, 46, 37, 22, 29.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 34 z įvertį z.

μ = 50σ = 20x = 34
z =
5.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2?3?4P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 4
P =
6.TikimybėSunkus
n = 10, p = 0,2: P(X = 5) = ?k012345678910

Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 10p = 0,2k = 5
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
246,25257,5P = ?

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 246,25 ir 257,5 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x1 = 246,25x2 = 257,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?97,5%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 21, s = 3,5L = ?Ux̄ = 41,5E99%

21 elementų imties vidurkis – 41,5, standartinis nuokrypis s = 3,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 21x̄ = 41,5s = 3,599%t(20) = 2,845
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 34. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 34E = 590%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,13102,131

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 116,6, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,6s = 15n = 16
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 175 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 153 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 153n₂ = 250
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy3335417549621163xy510405060

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2524586628761086xy5106080x = 3

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 58). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3, 58)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina10264379naktinė pamaina451740102Iš viso554383181

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 79stulpelio suma = 55N = 181
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · 16%

Kodėl tai yra atsakymas

Determinacijos koeficientas yra r², šiuo atveju 0,40² = 0,16, todėl 16% dispersijos yra bendra.

Atsakymas

D · 16%
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Dėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei nuliniai rezultatai skelbiami rečiau, apibendrintas poveikis padidėja. Piltuvo diagramos ir nepaskelbtų duomenų paieška padeda tai aptikti ir sumažinti.

Atsakymas

C · Dėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,51

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 240/7 = 34,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 0,7143² + 18,71² + (−16,29)² + 11,71² + 2,714² + (−12,29)² + (−5,286)² = 939,4

Standartinis nuokrypis

s = √(939,4/6) = 12,51

Atsakymas

s = 12,51
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (34 − 50)/20 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5177

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Atsakymas

P = 0,5177
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,02642

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 252·0,25·0,85 = 252·0,00032·0,3277 = 0,02642

Atsakymas

P = 0,02642
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7066

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Plotas tarp

P = Φ(1,5) − Φ(−0,75) = 0,9332 − 0,2266 = 0,7066

Atsakymas

P = 0,7066
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 578,4 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Atsakymas

x = 578,4 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 39,33

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Paklaidos riba

E = 2,845·3,5/√21 = 2,173

Intervalas

41,5 ± 2,173 → [39,33, 43,67]

Atsakymas

apatinis rėžis = 39,33
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 126

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·34/5)² = 125,1

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 126

Atsakymas

n = 126
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,9067

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Testo statistika

t = (116,6 − 120)/3,75 = −0,9067

Atsakymas

t = −0,9067
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 2,071

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 175/250 = 0,7
p̂₂ = 153/250 = 0,612
p̂ = 328/500 = 0,656

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,656·0,344·(1/250 + 1/250)) = 0,04249

Testo statistika

z = (0,7 − 0,612)/0,04249 = 2,071

Atsakymas

z = 2,071

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,941

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 253/5 = 50,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 697,2

Determinacijos koeficientas

r² = 162²/(40·697,2) = 0,941

Atsakymas

r² = 0,941

Apie 94,1% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,1

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 334/5 = 66,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Regresijos tiesė

b = 172/40 = 4,3
a = 66,8 − 4,3·6 = 41
ŷ = 41 + 4,3·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 41 + 4,3·3 = 53,9

Liekana

e = 58 − 53,9 = 4,1

Atsakymas

e = 4,1

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 24,01

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 79·55/181 = 24,01

Atsakymas

E = 24,01
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 20,09

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Lentelė

χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Atsakymas

χ²crit = 20,090

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology