Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Koreliacijoje r = 0,40. Kokia vieno kintamojo dispersijos dalis bendra su kitu?
- A60%
- B16%
- C4%
- D40%
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Metaanalizė sujungia 40 terapijos tyrimų. Kodėl jos bendras poveikio dydis vis tiek gali būti per didelis?
- AĮ metaanalizes negalima įtraukti atsitiktinių imčių tyrimų
- BMetaanalizės visada duoda mažesnius poveikius nei jų įtraukti pavieniai tyrimai
- CTyrimų sujungimas visada pašalina bet kokį šališkumą
- DDėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 58, 60, 21, 38, 41, 13.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 66,25?
μ = 60σ = 5x = 66,25
P =
5.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 7 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
7 / 3
P =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €8 su tikimybe 0,2 ir €20 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€8: p = 0,2€20: p = 0,05
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 28,3 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 5 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 elementų imties vidurkis – 107, standartinis nuokrypis s = 2. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 7x̄ = 107s = 299%t(6) = 3,707
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 35. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 35E = 199%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 3. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 248,76. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ < 250. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 250σ = 3n = 36x̄ = 248,76H₁: μ < μ₀
p =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 80 iš 200 pacientų, gydytų A būdu, ir 120 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 120n₂ = 250
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 100Σy = 305Σx² = 2040Σy² = 19133Σxy = 6238
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (24,5, 62). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(24,5, 62)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, nežymus“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 64stulpelio suma = 29N = 122
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 3 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: B · 16%
Kodėl tai yra atsakymas
Determinacijos koeficientas yra r², šiuo atveju 0,40² = 0,16, todėl 16% dispersijos yra bendra.
Atsakymas
B · 16%
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Dėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų
Kodėl tai yra atsakymas
Jei nuliniai rezultatai skelbiami rečiau, apibendrintas poveikis padidėja. Piltuvo diagramos ir nepaskelbtų duomenų paieška padeda tai aptikti ir sumažinti.
Atsakymas
D · Dėl publikavimo šališkumo gali trūkti nepaskelbtų nulinių tyrimų
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 231/6 = 38,5
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 19,5² + 21,5² + (−17,5)² + (−0,5)² + 2,5² + (−25,5)² = 1806
Standartinis nuokrypis
s = √(1806/5) = 19
Atsakymas
s = 19
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,8944
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4667
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667
Atsakymas
P = 0,4667
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,6 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,2), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,2 + 18·0,05 − 2·0,75 = 0,6 €
Atsakymas
E(G) = 0,6 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9306
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Atsakymas
P = 0,9306
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 189,5 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,95
z iš lentelės
z ≈ 1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Atsakymas
x = 189,5 cm
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 104,2
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·2/√7 = 2,802
Intervalas
107 ± 2,802 → [104,2, 109,8]
Atsakymas
apatinis rėžis = 104,2
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 8129
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·35/1)² = 8129
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 8129
Atsakymas
n = 8129
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,006569
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (248,76 − 250)/0,5 = −2,48
Uodegos plotas
Φ(2,48) = 0,9934
1 − Φ(2,48) = 0,0066
p reikšmė
p = 0,006569
Atsakymas
p = 0,006569
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,697
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 80/200 = 0,4
p̂₂ = 120/250 = 0,48
p̂ = 200/450 = 0,4444
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,4444·0,5556·(1/200 + 1/250)) = 0,04714
Testo statistika
z = (0,4 − 0,48)/0,04714 = −1,697
Atsakymas
z = −1,697
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9496
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 6238 − 100·305/5 = 138
Sxx = 2040 − 100²/5 = 40
Syy = 19133 − 305²/5 = 528
Koreliacijos koeficientas
r = 138/√(40·528) = 0,9496
Atsakymas
r = 0,9496
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −2,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 255/5 = 51
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 273
Regresijos tiesė
b = 273/90 = 3,033
a = 51 − 3,033·20 = −9,667
ŷ = −9,667 + 3,033·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −9,667 + 3,033·24,5 = 64,65
Liekana
e = 62 − 64,65 = −2,65
Atsakymas
e = −2,65
Taškas yra po tiese.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 15,21
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 64·29/122 = 15,21
Atsakymas
E = 15,21
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 13,28
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
Lentelė
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
Atsakymas
χ²crit = 13,277
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology