Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Pakartotinių matavimų plane eilės efektus galima kontroliuoti:

AAtsitiktine atranka
BAtsveriant eilės tvarką (counterbalancing)
CTik didesne imtimi
DVienpusiškai aklu tyrimu

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas darbo stresui tirti naudoja klausimyną, interviu ir stebėjimą, o radiniai sutampa. Kaip vadinamas šis požiūris?

ASluoksniavimas
BReplikacija
CKontrabalansavimas
DTrianguliacija

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 31, 18, 56, 16, 35, 36.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 190?

μ = 170σ = 10x = 190

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 6 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 3

P =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,4

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė viršija 358,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 358,2 g

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 elementų imties vidurkis – 106, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 10x̄ = 106s = 390%t(9) = 1,833

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7,4 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.

n = 25s = 7,4 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 7,5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 246,82. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ < 250. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 250σ = 7,5n = 25x̄ = 246,82H₁: μ < μ₀

p =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

49 matavimų imties vidurkis – 52,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 52,3σ = 10n = 4999%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 25Σy = 400Σx² = 165Σy² = 34318Σxy = 2304

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 4

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atsveriant eilės tvarką (counterbalancing)

Kodėl tai yra atsakymas

Eilės atsvėrimas tolygiai paskirsto praktikos ir nuovargio efektus tarp sąlygų.

Atsakymas

B · Atsveriant eilės tvarką (counterbalancing)

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Trianguliacija

Kodėl tai yra atsakymas

Trianguliacija naudoja kelis metodus, šaltinius ar tyrėjus. Jų sutapimas didina pasitikėjimą radinių validumu.

Atsakymas

D · Trianguliacija

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,52

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 192/6 = 32

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−14)² + 24² + (−16)² + 3² + 4² = 1054

Standartinis nuokrypis

s = √(1054/5) = 14,52

Atsakymas

s = 14,52

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4167

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Atsakymas

P = 0,4167

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2333

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Sudėkite

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Atsakymas

P = 0,2333

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Standartizuokite

z = (358,2 − 360)/3,6 = −0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,739

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Paklaidos riba

E = 1,833·3/√10 = 1,739

Atsakymas

E = 1,739

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 5,778 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 24·7,4² = 1314

σ² rėžiai

1314/39,364 = 33,39

1314/12,401 = 106

σ rėžis

σ = √33,39 = 5,778 µm

Atsakymas

σ = 5,778 µm

σ 95 % intervalas: [5,778, 10,29] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,017

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (246,82 − 250)/1,5 = −2,12

Uodegos plotas

Φ(2,12) = 0,9830

1 − Φ(2,12) = 0,0170

p reikšmė

p = 0,017

Atsakymas

p = 0,017

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 48,62

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Intervalo rėžis

L = 52,3 − 3,68 = 48,62

Atsakymas

L = 48,62

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9984

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 2304 − 25·400/5 = 304

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 34318 − 400²/5 = 2318

Koreliacijos koeficientas

r = 304/√(40·2318) = 0,9984

Atsakymas

r = 0,9984

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 43,67

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 262/6 = 43,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 11

Regresijos tiesė

b = 11/17,5 = 0,6286

a = 43,67 − 0,6286·5,5 = 40,21

ŷ = 40,21 + 0,6286·x

Prognozė

ŷ = 40,21 + 0,6286·5,5 = 43,67

Atsakymas

ŷ = 43,67

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,516

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

kaimo: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

Chi kvadrato statistika

χ² = (15 − 16)²/16 + (43 − 36)²/36 + (22 − 28)²/28 + (25 − 24)²/24 + (47 − 54)²/54 + (48 − 42)²/42

χ² = 4,516

Atsakymas

χ² = 4,516

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology