Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrėjas lygina vaikų agresiją prieš ir po to, kai atokiame miestelyje atsiranda televizija. Tyrėjas televizijos atsiradimo nekontroliavo. Tai yra:

  1. ATelevizijos žiūrėjimo koreliacinė apklausa
  2. BNatūralusis eksperimentas
  3. CLauko eksperimentas
  4. DLaboratorinis eksperimentas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Savianalizės skalėje paaiškėja, kad žmonės, sutinkantys su daugeliu teiginių, surenka daug taškų nepriklausomai nuo turinio. Koks tai atsakymų šališkumas ir kaip jį galima sumažinti?

  1. AUžduoties reikalavimų požymiai; naudoti dvigubo aklumo planą
  2. BEiliškumo efektai; kontrabalansuoti dalyvius
  3. CSocialinio pageidaujamumo šališkumas; naudoti didesnę imtį
  4. DPritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 14, 13, 14, 47, 28, 42.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 57,5 z įvertį z.

μ = 50σ = 5x = 57,5
z =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,3520,340,0560,3μ = 2,6

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3
σ =
6.TikimybėSunkus
n = 5, p = 0,7: P(X = 4) = ?k012345

Teste yra 5 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 5p = 0,7k = 4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
750 g745,1 gX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 745,1 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 100x = ?5%

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 5%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 2,690%, n = 50x̄E₂ = ?90%, n = 200

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,6. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 200 stebėjimų?

90%n₁ = 50E₁ = 2,6n₂ = 200
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 5E = 199%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,98401,984

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 196,7, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,7s = 15n = 100
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 22, galia 90%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 22. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 90%δ = 4σ = 22zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1860217224902710830113xy2025306080100

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy230335442550653xy246304050x = 3,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 42). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 42)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji402060nerūkantieji382260Iš viso7842120

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

3 × 6
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Natūralusis eksperimentas

Kodėl tai yra atsakymas

Natūraliajame eksperimente NK kinta dėl įvykių, kurių tyrėjas nekontroliuoja. Ekologinis validumas didelis, bet atsitiktinis paskirstymas neįmanomas.

Atsakymas

B · Natūralusis eksperimentas
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus

Kodėl tai yra atsakymas

Pritarimas yra polinkis sutikti su punktais. Sumaišius teigiamai ir neigiamai suformuluotus punktus, sutikimas su viskuo nebeduoda kraštutinio įverčio.

Atsakymas

D · Pritarimo šališkumas (acquiescence); įtraukti atvirkščiai suformuluotus punktus
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,21

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 158/6 = 26,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−12,33)² + (−13,33)² + (−12,33)² + 20,67² + 1,667² + 15,67² = 1157

Standartinis nuokrypis

s = √(1157/5) = 15,21

Atsakymas

s = 15,21
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (57,5 − 50)/5 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5
5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 2,458

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,3 = 2,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,3 = 12,8

Dispersija

Var(X) = 12,8 − 2,6² = 6,04
σ = √6,04 = 2,458

Atsakymas

σ = 2,458
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3601

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 5·0,74·0,31 = 5·0,2401·0,3 = 0,3601

Atsakymas

P = 0,3601
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 75,33 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 tšk.

Atsakymas

x = 75,33 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,3

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(50/200) = 0,5

Nauja paklaidos riba

E₂ = 2,6·0,5 = 1,3

Atsakymas

E₂ = 1,3
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 166

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 166

Atsakymas

n = 166
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Testo statistika

t = (196,7 − 200)/1,5 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 394

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,282)·22/4)² = 393,8

Apvalinkite aukštyn

n = 394

Atsakymas

n = 394
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9876

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 443/5 = 88,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2067

Koreliacijos koeficientas

r = 426/√(90·2067) = 0,9876

Atsakymas

r = 0,9876
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,05

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 210/5 = 42

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Regresijos tiesė

b = 61/10 = 6,1
a = 42 − 6,1·4 = 17,6
ŷ = 17,6 + 6,1·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 17,6 + 6,1·3,5 = 38,95

Liekana

e = 42 − 38,95 = 3,05

Atsakymas

e = 3,05

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,1465

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21
nerūkantieji: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

Chi kvadrato statistika

χ² = (40 − 39)²/39 + (20 − 21)²/21 + (38 − 39)²/39 + (22 − 21)²/21
χ² = 0,1465

Atsakymas

χ² = 0,1465

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 10

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Atsakymas

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology