Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Lauko eksperimente tyrėjas:
- AManipuliuoja NK realioje aplinkoje
- BTik stebi, niekuo nemanipuliuodamas
- CManipuliuoja NK laboratorijoje
- DAnalizuoja kitų surinktus duomenis
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas darbo stresui tirti naudoja klausimyną, interviu ir stebėjimą, o radiniai sutampa. Kaip vadinamas šis požiūris?
- AKontrabalansavimas
- BSluoksniavimas
- CTrianguliacija
- DReplikacija
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 34, 20, 27, 52, 39, 33, 57.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 52?
μ = 50σ = 5x = 52
P =
5.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 8 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
8 / 3
P =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €8 su tikimybe 0,25 ir €20 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€8: p = 0,25€20: p = 0,05
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6879. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,6879
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 127 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 131 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 127 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 131 hσ₂ = 3 h99%
viršutinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 13. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 13E = 195%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 50 detalių imties vidutinis ilgis 72 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 18 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 65 mm, žinomas standartinis nuokrypis 8 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 50x̄₁ = 72 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 50x̄₂ = 65 mmσ₂ = 8 mm
z =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 140 iš 200 pacientų, gydytų A būdu, ir 83 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 83n₂ = 100
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 30Σy = 112Σx² = 220Σy² = 3136Σxy = 830
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 2202 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 3 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Manipuliuoja NK realioje aplinkoje
Kodėl tai yra atsakymas
Lauko eksperimentai, pvz., surežisuotos pagalbos situacijos gatvėje, didina ekologinį validumą, bet suteikia mažiau pašalinių kintamųjų kontrolės ir kelia sutikimo problemų.
Atsakymas
A · Manipuliuoja NK realioje aplinkoje
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Trianguliacija
Kodėl tai yra atsakymas
Trianguliacija naudoja kelis metodus, šaltinius ar tyrėjus. Jų sutapimas didina pasitikėjimą radinių validumu.
Atsakymas
C · Trianguliacija
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,18
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 262/7 = 37,43
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−3,429)² + (−17,43)² + (−10,43)² + 14,57² + 1,571² + (−4,429)² + 19,57² = 1042
Standartinis nuokrypis
s = √(1042/6) = 13,18
Atsakymas
s = 13,18
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,3446
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5091
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
Atsakymas
P = 0,5091
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 1 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,25), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,25 + 18·0,05 − 2·0,7 = 1 €
Atsakymas
E(G) = 1 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −0,49
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,3121 ir nuskaitykite z.
z = −0,49
Atsakymas
z = −0,49
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7389
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartizuokite
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Atsakymas
P = 0,7389
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 0,4056 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 127 − 131 = −4
Standartinė paklaida
SE = √(15²/80 + 3²/80) = 1,71
Paklaidos riba
E = 2,576·1,71 = 4,406
Intervalas
−4 ± 4,406 → [−8,406, 0,4056]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 0,4056 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 650
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·13/1)² = 649,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 650
Atsakymas
n = 650
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,513
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(18²/50 + 8²/50) = √7,76 = 2,786
Testo statistika
z = (72 − 65)/2,786 = 2,513
Atsakymas
z = 2,513
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,43
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 140/200 = 0,7
p̂₂ = 83/100 = 0,83
p̂ = 223/300 = 0,7433
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,7433·0,2567·(1/200 + 1/100)) = 0,0535
Testo statistika
z = (0,7 − 0,83)/0,0535 = −2,43
Atsakymas
z = −2,43
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9975
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 830 − 30·112/5 = 158
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3136 − 112²/5 = 627,2
Koreliacijos koeficientas
r = 158/√(40·627,2) = 0,9975
Atsakymas
r = 0,9975
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 34,48
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 127/6 = 21,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 233
Regresijos tiesė
b = 233/70 = 3,329
a = 21,17 − 3,329·7 = −2,133
ŷ = −2,133 + 3,329·x
Prognozė
ŷ = −2,133 + 3,329·11 = 34,48
Atsakymas
ŷ = 34,48
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 20,21
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
miesto: 120·33/220 = 18, 120·88/220 = 48, 120·99/220 = 54
kaimo: 100·33/220 = 15, 100·88/220 = 40, 100·99/220 = 45
Chi kvadrato statistika
χ² = (12 − 18)²/18 + (64 − 48)²/48 + (44 − 54)²/54 + (21 − 15)²/15 + (24 − 40)²/40 + (55 − 45)²/45
χ² = 20,21
Atsakymas
χ² = 20,21
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 9,21
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 3 − 1 = 2
Lentelė
χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210
Atsakymas
χ²crit = 9,210
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology