Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrėjas lygina vaikų agresiją prieš ir po to, kai atokiame miestelyje atsiranda televizija. Tyrėjas televizijos atsiradimo nekontroliavo. Tai yra:

ALauko eksperimentas
BTelevizijos žiūrėjimo koreliacinė apklausa
CLaboratorinis eksperimentas
DNatūralusis eksperimentas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas nustato, kad daugiau miegantys studentai turi geresnius pažymius. Kuris plano pakeitimas geriausiai leistų daryti priežastinę išvadą?

APaprašyti studentų du kartus nurodyti savo miegą ir apskaičiuoti abiejų atsakymų vidurkį
BAtsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
CApklausti daugiau studentų
DTiksliau matuoti pažymius

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 47, 36, 49, 47.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 30?

μ = 50σ = 10x = 30

P =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 6

P =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15Y = −2X + 20

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1075. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1075

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.60%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 109, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 30x̄ = 109s = 1,595%t(29) = 2,045

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 100; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 99,06. Tikrinkite H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 100σ = 10n = 100x̄ = 99,06H₁: μ < μ₀

p =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 7. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 1,5σ = 7z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 6

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Natūralusis eksperimentas

Kodėl tai yra atsakymas

Natūraliajame eksperimente NK kinta dėl įvykių, kurių tyrėjas nekontroliuoja. Ekologinis validumas didelis, bet atsitiktinis paskirstymas neįmanomas.

Atsakymas

D · Natūralusis eksperimentas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams

Kodėl tai yra atsakymas

Tik manipuliuojant miegu ir atsitiktinai priskiriant dalyvius kontroliuojami tretieji kintamieji ir galima priežastinė išvada, laikantis etikos ribų.

Atsakymas

B · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,01

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 197/5 = 39,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−21,4)² + 7,6² + (−3,4)² + 9,6² + 7,6² = 677,2

Standartinis nuokrypis

s = √(677,2/4) = 13,01

Atsakymas

s = 13,01

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,6651

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Atsakymas

P = 0,6651

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 20,88

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 21, Var(X) = 109, σ_X = 10,44

Tiesinis pokytis

σ_Y = |−2|·10,44 = 20,88

Atsakymas

σ_Y = 20,88

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·21 + 20 = −22.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,24

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1075 = 0,8925

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8925 ir nuskaitykite z.

z = 1,24

Atsakymas

z = 1,24

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 103,8 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 tšk.

Atsakymas

x = 103,8 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 0,56

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Paklaidos riba

E = 2,045·1,5/√30 = 0,56

Atsakymas

E = 0,56

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Apvalinkite aukštyn

n = 1844

Atsakymas

n = 1844

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,1736

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (99,06 − 100)/1 = −0,94

Uodegos plotas

Φ(0,94) = 0,8264

1 − Φ(0,94) = 0,1736

p reikšmė

p = 0,1736

Atsakymas

p = 0,1736

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 219

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·7/1,5)² = 218,6

Apvalinkite aukštyn

n = 219

Atsakymas

n = 219

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,8642

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 246/5 = 49,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 444,8

Determinacijos koeficientas

r² = 124²/(40·444,8) = 0,8642

Atsakymas

r² = 0,8642

Apie 86,42% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 17,2

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Regresijos tiesė

b = −24/10 = −2,4

a = 16 − (−2,4)·3 = 23,2

ŷ = 23,2 − 2,4·x

Prognozė

ŷ = 23,2 + (−2,4)·2,5 = 17,2

Atsakymas

ŷ = 17,2

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,505

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 80·30/200 = 12, 80·80/200 = 32, 80·90/200 = 36

naktinė pamaina: 120·30/200 = 18, 120·80/200 = 48, 120·90/200 = 54

Chi kvadrato statistika

χ² = (15 − 12)²/12 + (30 − 32)²/32 + (35 − 36)²/36 + (15 − 18)²/18 + (50 − 48)²/48 + (55 − 54)²/54

χ² = 1,505

Atsakymas

χ² = 1,505

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 5

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Atsakymas

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology