Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Testas toks lengvas, kad beveik visi dalyviai surenka beveik maksimumą. Tai vadinama:
- AEiliškumo efektu
- BLubų efektu
- CPraktikos efektu
- DGrindų efektu
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:
- AApklausta bent 1,000 dalyvių
- BGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
- CPatvirtinama pradinė hipotezė
- DPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 60, 57, 49, 26, 34, 56, 28.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 475?
μ = 500σ = 50x = 475
P =
5.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 14k = 5
N =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €6 su tikimybe 0,2 ir €40 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€6: p = 0,2€40: p = 0,01
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 174,5 ir 179,4 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 179,4
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 75 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.75%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,2. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 400 stebėjimų?
95%n₁ = 100E₁ = 2,2n₂ = 400
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 33. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 33E = 295%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 498,6, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 15n = 100
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 79,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 79,5σ = 12n = 4999%
U =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (16, 53). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(16, 53)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 2002 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 11 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?
2 × 11
df =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: B · Lubų efektu
Kodėl tai yra atsakymas
Lubų efektai paslepia sąlygų skirtumus, nes niekas negali surinkti daugiau. Grindų efektai yra priešingybė, kai užduotis per sunki.
Atsakymas
B · Lubų efektu
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
Kodėl tai yra atsakymas
Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.
Atsakymas
D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,57
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 310/7 = 44,29
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 15,71² + 12,71² + 4,714² + (−18,29)² + (−10,29)² + 11,71² + (−16,29)² = 1273
Standartinis nuokrypis
s = √(1273/6) = 14,57
Atsakymas
s = 14,57
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,6915
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
5.Tikimybė
Atsakymas: N = 2002
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
Atsakymas
N = 2002
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −0,4 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 4 (p = 0,2), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
Laukiamoji vertė
E(G) = 4·0,2 + 38·0,01 − 2·0,79 = −0,4 €
Atsakymas
E(G) = −0,4 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2707
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2
Plotas tarp
P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707
Atsakymas
P = 0,2707
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 90 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,25
z iš lentelės
z ≈ −0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 − 0,67·15 = 90 tšk.
Atsakymas
x = 90 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 1,1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5
Nauja paklaidos riba
E₂ = 2,2·0,5 = 1,1
Atsakymas
E₂ = 1,1
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1046
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·33/2)² = 1046
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1046
Atsakymas
n = 1046
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,9333
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Testo statistika
t = (498,6 − 500)/1,5 = −0,9333
Atsakymas
t = −0,9333
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 83,92
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·12/√49 = 4,416
Intervalo rėžis
U = 79,5 + 4,416 = 83,92
Atsakymas
U = 83,92
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9742
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 430/5 = 86
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1184
Koreliacijos koeficientas
r = 212/√(40·1184) = 0,9742
Atsakymas
r = 0,9742
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,3
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 354/5 = 70,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
Regresijos tiesė
b = 180/40 = 4,5
a = 70,8 − 4,5·19 = −14,7
ŷ = −14,7 + 4,5·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −14,7 + 4,5·16 = 57,3
Liekana
e = 53 − 57,3 = −4,3
Atsakymas
e = −4,3
Taškas yra po tiese.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 20,48
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
naujas vaistas: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
placebas: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
Chi kvadrato statistika
χ² = (66 − 50)²/50 + (34 − 50)²/50 + (34 − 50)²/50 + (66 − 50)²/50
χ² = 20,48
Atsakymas
χ² = 20,48
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: df = 10
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
Atsakymas
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology