Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

15 punktų nerimo skalės Cronbacho alfa, lygi 0,88, rodo:

AKad įverčiai stabilūs šešis mėnesius
BKad skalė turi reikšmingą poveikį nerimui
CGerą punktų vidinį suderinamumą
DKad skalė gerai prognozuoja būsimą nerimą

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas su 10 dalyvių nustato didelį, bet nereikšmingą poveikį. Kokia tinkamiausia išvada?

ATyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis
BPoveikio dydis turi būti neteisingai apskaičiuotas
CPoveikis turi būti I tipo klaida
DTyrimas įrodo, kad nulinė hipotezė teisinga, nes poveikis nebuvo reikšmingas

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 56, 36, 22, 47, 54, 27, 17.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 90 z įvertį z.

μ = 60σ = 20x = 90

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €4 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€4: p = 0,3€20: p = 0,05

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 70 ir 115,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 115,75

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

21 elementų imties vidurkis – 53, standartinis nuokrypis s = 5,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 21x̄ = 53s = 5,599%t(20) = 2,845

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 5,4 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.

n = 16s = 5,4 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 202,1, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,1s = 8n = 64

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 195 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 216 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 216n₂ = 300

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 147Σy = 628Σx² = 3759Σy² = 68054Σxy = 15986

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (23, 117). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(23, 117)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Gerą punktų vidinį suderinamumą

Kodėl tai yra atsakymas

Cronbacho alfa įvertina vidinį suderinamumą; maždaug 0,7 ar didesnės reikšmės paprastai laikomos priimtinomis. Pati savaime ji neparodo validumo.

Atsakymas

C · Gerą punktų vidinį suderinamumą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Tyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis

Kodėl tai yra atsakymas

Esant mažoms imtims, net tikri poveikiai dažnai nepasiekia reikšmingumo (II tipo klaida). Tyrėjai turėtų nurodyti poveikio dydį ir pasikliautinąjį intervalą bei pakartoti tyrimą su didesne imtimi.

Atsakymas

A · Tyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,68

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 259/7 = 37

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 19² + (−1)² + (−15)² + 10² + 17² + (−10)² + (−20)² = 1476

Standartinis nuokrypis

s = √(1476/6) = 15,68

Atsakymas

s = 15,68

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Standartizuokite

z = (90 − 60)/20 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 11,52

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,2 + 20·0,3 + 30·0,15 + 40·0,35 = 26,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,3 + 900·0,15 + 1600·0,35 = 835

Dispersija

Var(X) = 835 − 26,5² = 132,8

σ = √132,8 = 11,52

Atsakymas

σ = 11,52

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,2 €

Grynosios baigtys

G: 2 (p = 0,3), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)

Laukiamoji vertė

E(G) = 2·0,3 + 18·0,05 − 2·0,65 = 0,2 €

Atsakymas

E(G) = 0,2 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8304

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Plotas tarp

P = Φ(1,05) − Φ(−2) = 0,8531 − 0,02275 = 0,8304

Atsakymas

P = 0,8304

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 39,69 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Atgal į x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Atsakymas

x = 39,69 min

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 56,41

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Paklaidos riba

E = 2,845·5,5/√21 = 3,415

Intervalas

53 ± 3,415 → [49,59, 56,41]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 56,41

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 8,358 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 15·5,4² = 437,4

σ² rėžiai

437,4/27,488 = 15,91

437,4/6,262 = 69,85

σ rėžis

σ = √69,85 = 8,358 µm

Atsakymas

σ = 8,358 µm

σ 95 % intervalas: [3,989, 8,358] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Testo statistika

t = (202,1 − 200)/1 = 2,1

Atsakymas

t = 2,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,846

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 195/300 = 0,65

p̂₂ = 216/300 = 0,72

p̂ = 411/600 = 0,685

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,685·0,315·(1/300 + 1/300)) = 0,03793

Testo statistika

z = (0,65 − 0,72)/0,03793 = −1,846

Atsakymas

z = −1,846

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9919

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 15986 − 147·628/6 = 600

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 68054 − 628²/6 = 2323

Koreliacijos koeficientas

r = 600/√(157,5·2323) = 0,9919

Atsakymas

r = 0,9919

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −2,55

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 525/5 = 105

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

Regresijos tiesė

b = 194/40 = 4,85

a = 105 − 4,85·20 = 8

ŷ = 8 + 4,85·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 8 + 4,85·23 = 119,5

Liekana

e = 117 − 119,5 = −2,55

Atsakymas

e = −2,55

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,15

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 120·90/180 = 60, 120·45/180 = 30, 120·45/180 = 30

kaimo: 60·90/180 = 30, 60·45/180 = 15, 60·45/180 = 15

Chi kvadrato statistika

χ² = (59 − 60)²/60 + (35 − 30)²/30 + (26 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (10 − 15)²/15 + (19 − 15)²/15

χ² = 4,15

Atsakymas

χ² = 4,15

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 10,99

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 16, 24

amžius 31–50: 32, 48

amžius 51+: 16, 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (23 − 32)²/32 + (57 − 48)²/48 + (24 − 16)²/16 + (16 − 24)²/24

χ² = 10,99

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

10,99 > 5,991

Atsakymas

χ² = 10,99

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology