Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Eksperimentatoriaus šališkumas labiausiai tiesiogiai sumažinamas:

ANaudojant vienpusę hipotezę
BNaudojant tik savanorius
CDuomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų
DNaudojant didesnę imtį

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrime dviem vienodo dydžio nepriklausomoms grupėms nurodoma t(28) = 2,50, p = .018. Kiek dalyvių dalyvavo?

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 24, 40, 16, 57, 47, 54.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 100. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 400?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3Y = 3X + 4

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 500 ir 520 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 520

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 elementų imties vidurkis – 106,5, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 16x̄ = 106,5s = 399%t(15) = 2,947

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 10,2 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.

n = 21s = 10,2 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 72,6, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,6s = 8n = 36

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 51,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 51,4σ = 5n = 6490%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Duomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų

Kodėl tai yra atsakymas

Hipotezę žinantys eksperimentatoriai gali netyčia paveikti dalyvius ar įrašus. Vienkartinio ar dvigubo aklumo procedūros ir standartizuotos instrukcijos tai mažina.

Atsakymas

C · Duomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · 30

Kodėl tai yra atsakymas

28 laisvės laipsniai reiškia 28 + 2 = 30 dalyvių, po 15 kiekvienoje grupėje.

Atsakymas

B · 30

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,52

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 238/6 = 39,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−15,67)² + 0,3333² + (−23,67)² + 17,33² + 7,333² + 14,33² = 1365

Standartinis nuokrypis

s = √(1365/5) = 16,52

Atsakymas

s = 16,52

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 102,8

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,3 + 40·0,25 = 26,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 805

Dispersija

Var(X) = 805 − 26,5² = 102,8

Atsakymas

Var(X) = 102,8

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 34,73

X sklaida

μ = 26, Var(X) = 134, σ_X = 11,58

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·11,58 = 34,73

Atsakymas

σ_Y = 34,73

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·26 + 4 = 82.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1915

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Plotas tarp

P = Φ(0,5) − Φ(0) = 0,6915 − 0,5 = 0,1915

Atsakymas

P = 0,1915

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 565,8 h

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Atsakymas

x = 565,8 h

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 108,7

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Paklaidos riba

E = 2,947·3/√16 = 2,21

Intervalas

106,5 ± 2,21 → [104,3, 108,7]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 108,7

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 7,804 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 20·10,2² = 2081

σ² rėžiai

2081/34,17 = 60,9

2081/9,591 = 217

σ rėžis

σ = √60,9 = 7,804 µm

Atsakymas

σ = 7,804 µm

σ 95 % intervalas: [7,804, 14,73] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (72,6 − 75)/1,333 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 50,37

Paklaidos riba

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Intervalo rėžis

L = 51,4 − 1,028 = 50,37

Atsakymas

L = 50,37

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9171

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 326/5 = 65,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 432,8

Determinacijos koeficientas

r² = 126²/(40·432,8) = 0,9171

Atsakymas

r² = 0,9171

Apie 91,71% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 69,55

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 377/6 = 62,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

Regresijos tiesė

b = 235/70 = 3,357

a = 62,83 − 3,357·8 = 35,98

ŷ = 35,98 + 3,357·x

Prognozė

ŷ = 35,98 + 3,357·10 = 69,55

Atsakymas

ŷ = 69,55

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,313

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 40·56/140 = 16, 40·84/140 = 24

placebas: 100·56/140 = 40, 100·84/140 = 60

Chi kvadrato statistika

χ² = (13 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (43 − 40)²/40 + (57 − 60)²/60

χ² = 1,313

Atsakymas

χ² = 1,313

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 43,06

Tikėtini dažniai

linija 1: 42, 18

linija 2: 28, 12

linija 3: 56, 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (31 − 42)²/42 + (29 − 18)²/18 + (19 − 28)²/28 + (21 − 12)²/12 + (76 − 56)²/56 + (4 − 24)²/24

χ² = 43,06

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

43,06 > 5,991

Atsakymas

χ² = 43,06

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology