Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris testas tinka dviejų nepriklausomų grupių vidurkiams palyginti, kai intervaliniai duomenys pasiskirstę apytiksliai normaliai?

AVilkoksono ženklų rangų testas
BChi kvadrato testas
CNepriklausomų imčių t testas
DPirsono koreliacija

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas tarp vien profesionalių krepšininkų nustato ūgio ir IQ koreliaciją r = 0,05, nors bendrojoje populiacijoje ji didesnė. Kas geriausiai paaiškina silpną koreliaciją?

AUžduoties reikalavimų požymiai
BDiapazono ribojimas
CRegresija į vidurkį
DIQ testų lubų efektas

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 55, 39, 39, 51.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 72,5 z įvertį z.

μ = 60σ = 10x = 72,5

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 8p = 0,4k = 4

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 482 ir 510 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 510

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 84,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 13 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 72 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 60x̄₁ = 84,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 72 hσ₂ = 4 h95%

E = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 30E = 595%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 493,4, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493,4s = 15n = 49

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 45 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 41 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 41n₂ = 80

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 147Σy = 714Σx² = 3759Σy² = 88676Σxy = 18252

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 6 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 6

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Nepriklausomų imčių t testas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų imčių t testas lygina du grupių vidurkius. Chi kvadratas skirtas dažniams; Vilkoksono testas – priklausomoms imtims su neparametriniais duomenimis.

Atsakymas

C · Nepriklausomų imčių t testas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Diapazono ribojimas

Kodėl tai yra atsakymas

Kai imtis apima tik siaurą kintamojo diapazoną, su juo susijusios koreliacijos sumažėja. Visi krepšininkai aukšti, todėl ūgis mažai kinta.

Atsakymas

B · Diapazono ribojimas

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 8,672

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 219/5 = 43,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + 11,2² + (−4,8)² + (−4,8)² + 7,2² = 300,8

Standartinis nuokrypis

s = √(300,8/4) = 8,672

Atsakymas

s = 8,672

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Standartizuokite

z = (72,5 − 60)/10 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 2,027

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,25 = 15

Dispersija

Var(X) = 15 − 3,3² = 4,11

σ = √4,11 = 2,027

Atsakymas

σ = 2,027

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2322

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 70·0,4⁴·0,6⁴ = 70·0,0256·0,1296 = 0,2322

Atsakymas

P = 0,2322

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2724

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Plotas tarp

P = Φ(0,25) − Φ(−0,45) = 0,5987 − 0,3264 = 0,2724

Atsakymas

P = 0,2724

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,75

z iš lentelės

z ≈ 0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Atsakymas

x = 253,4 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,404 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 72 = 12,5

Standartinė paklaida

SE = √(13²/60 + 4²/80) = 1,737

Paklaidos riba

E = 1,96·1,737 = 3,404

Atsakymas

E = 3,404 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 139

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·30/5)² = 138,3

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 139

Atsakymas

n = 139

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,08

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Testo statistika

t = (493,4 − 500)/2,143 = −3,08

Atsakymas

t = −3,08

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −0,8342

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 45/100 = 0,45

p̂₂ = 41/80 = 0,5125

p̂ = 86/180 = 0,4778

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4778·0,5222·(1/100 + 1/80)) = 0,07493

Testo statistika

z = (0,45 − 0,5125)/0,07493 = −0,8342

Atsakymas

z = −0,8342

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9929

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 18252 − 147·714/6 = 759

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 88676 − 714²/6 = 3710

Koreliacijos koeficientas

r = 759/√(157,5·3710) = 0,9929

Atsakymas

r = 0,9929

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 6,8

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 73/5 = 14,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Regresijos tiesė

b = 104/40 = 2,6

a = 14,6 − 2,6·6 = −1

ŷ = −1 + 2,6·x

Prognozė

ŷ = −1 + 2,6·3 = 6,8

Atsakymas

ŷ = 6,8

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 22,53

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

kaimo: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

Chi kvadrato statistika

χ² = (25 − 30)²/30 + (19 − 30)²/30 + (56 − 40)²/40 + (35 − 30)²/30 + (41 − 30)²/30 + (24 − 40)²/40

χ² = 22,53

Atsakymas

χ² = 22,53

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 5

Laisvės laipsniai

df = 6 − 1 = 5

Atsakymas

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology