Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Tyrimui, atliktam tik su Amerikos bakalauro studijų studentais, gali trūkti:
- ATurinio validumo
- BVidinio suderinamumo
- CPopuliacijos validumo
- DVertintojų tarpusavio patikimumo
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas renka duomenis devyniais laiko taškais ir kiekvieną kartą testuoja 5% lygmeniu be korekcijos. Kokia problema?
- ATikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
- BPoveikio dydis su kiekvienu testu mažėja
- CDuomenys kaskart tampa patikimesni, todėl paskutinis testas yra tiksliausias
- DToks metodas nekelia jokių problemų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 41, 27, 20, 28, 40, 44.
n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 118,8?
μ = 100σ = 15x = 118,8
P =
5.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 4
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 246,25 ir 256,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 246,25x2 = 256,25
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 85 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 92,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 20 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 85 hσ₁ = 7 hn₂ = 50x̄₂ = 92,5 hσ₂ = 20 h90%
apatinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9,4 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.
n = 10s = 9,4 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 62 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 18 mm. 2 linija: 60 detalių imties vidurkis 55 mm, žinomas standartinis nuokrypis 14 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 80x̄₁ = 62 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 60x̄₂ = 55 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 60 iš 200 pacientų, gydytų A būdu, ir 24 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 24n₂ = 100
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (19,5, 53). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(19,5, 53)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 802 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: C · Populiacijos validumo
Kodėl tai yra atsakymas
Populiacijos validumas yra išorinio validumo rūšis. Imtys, kurias daugiausia sudaro jauni, vakarietiški ir išsilavinę žmonės, gali neatstovauti kitiems.
Atsakymas
C · Populiacijos validumo
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
Kodėl tai yra atsakymas
Atlikus devynis nepriklausomus testus, bent vienos I rūšies klaidos tikimybė yra apie 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Tam spręsti taikomos korekcijos, pvz., Bonferonio.
Atsakymas
A · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 9,626
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 200/6 = 33,33
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 7,667² + (−6,333)² + (−13,33)² + (−5,333)² + 6,667² + 10,67² = 463,3
Standartinis nuokrypis
s = √(463,3/5) = 9,626
Atsakymas
s = 9,626
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,8944
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
5.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 122,8
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,2 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,3 = 26,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 825
Dispersija
Var(X) = 825 − 26,5² = 122,8
Atsakymas
Var(X) = 122,8
6.Tikimybė
Atsakymas: σY = 0,4023
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·0,8047 = 0,4023
Atsakymas
σY = 0,4023
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·1,05 + 4 = 4,525.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6677
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Plotas tarp
P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677
Atsakymas
P = 0,6677
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 527 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Atgal į x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
Atsakymas
x = 526,98 h
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −12,33 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 85 − 92,5 = −7,5
Standartinė paklaida
SE = √(7²/80 + 20²/50) = 2,935
Paklaidos riba
E = 1,645·2,935 = 4,828
Intervalas
−7,5 ± 4,828 → [−12,33, −2,672]
Atsakymas
apatinis rėžis = −12,33 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 6,466 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 9·9,4² = 795,2
σ² rėžiai
795,2/19,023 = 41,8
795,2/2,7 = 294,5
σ rėžis
σ = √41,8 = 6,466 µm
Atsakymas
σ = 6,466 µm
σ 95 % intervalas: [6,466, 17,16] µm.
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,588
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(18²/80 + 14²/60) = √7,317 = 2,705
Testo statistika
z = (62 − 55)/2,705 = 2,588
Atsakymas
z = 2,588
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,091
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 24/100 = 0,24
p̂ = 84/300 = 0,28
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,28·0,72·(1/200 + 1/100)) = 0,05499
Testo statistika
z = (0,3 − 0,24)/0,05499 = 1,091
Atsakymas
z = 1,091
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,986
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126
Koreliacijos koeficientas
r = −35/√(10·126) = −0,986
Atsakymas
r = −0,986
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 3,829
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 366/6 = 61
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 621
Regresijos tiesė
b = 621/157,5 = 3,943
a = 61 − 3,943·22,5 = −27,71
ŷ = −27,71 + 3,943·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −27,71 + 3,943·19,5 = 49,17
Liekana
e = 53 − 49,17 = 3,829
Atsakymas
e = 3,829
Taškas yra virš tiesės.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 1,896
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
studentai: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
darbuotojai: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
Chi kvadrato statistika
χ² = (9 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (19 − 16)²/16 + (11 − 10)²/10 + (16 − 14)²/14 + (13 − 16)²/16
χ² = 1,896
Atsakymas
χ² = 1,896
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 9,488
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
Lentelė
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Atsakymas
χ²crit = 9,488
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology