Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Norėdamas gauti imtį su tomis pačiomis pirmo, antro ir trečio kurso studentų proporcijomis kaip universiteto populiacijoje, tyrėjas turėtų naudoti:

ASluoksninę atranką
BSavanorių atranką
CSniego gniūžtės atranką
DPatogiąją atranką

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

„Replikacijos krizė" psichologijoje reiškia:

AKad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
BTai, kad įstatymas įpareigoja žurnalus atmesti visus pateiktus replikacijos tyrimus
CKlausimynų kopijavimą be leidimo
DDalyvių eksperimentams trūkumą

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 30, 50, 22, 31, 29, 13, 43.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Raskite rezultato 428 z įvertį z.

μ = 500σ = 60x = 428

z =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 8

P =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €12 su tikimybe 0,15 ir €60 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€12: p = 0,15€60: p = 0,05

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 482 ir 540 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 540

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 85 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,7. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 324 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 36E₁ = 7,799%n₂ = 324

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 9 sklypų, vidutinis derlius 60 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 71,5 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 9x̄₁ = 60s₁ = 1,5n₂ = 7x̄₂ = 71,5s₂ = 3,595%t(14) = 2,145

apatinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

15 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 6,65, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,9. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = 6,65s_d = 9,9

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

36 matavimų imties vidurkis – 201,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 201,1σ = 4n = 3699%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 66?

n = 6ŷ = 66

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Sluoksninę atranką

Kodėl tai yra atsakymas

Sluoksninė atranka išskiria pogrupius (sluoksnius) ir atsitiktinai atrenka iš kiekvieno proporcingai jo dydžiui populiacijoje, todėl imtis tampa reprezentatyvesnė.

Atsakymas

A · Sluoksninę atranką

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

Kodėl tai yra atsakymas

Dideli replikacijos projektai nustatė, kad daugelis poveikių yra mažesni arba jų nėra; tai susiję su publikavimo šališkumu, mažomis imtimis ir lanksčia analize. Vienas iš atsakų – išankstinė registracija.

Atsakymas

A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,35

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 218/7 = 31,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + 18,86² + (−9,143)² + (−0,1429)² + (−2,143)² + (−18,14)² + 11,86² = 914,9

Standartinis nuokrypis

s = √(914,9/6) = 12,35

Atsakymas

s = 12,35

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Standartizuokite

z = (428 − 500)/60 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1282

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Atsakymas

P = 0,1282

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,8 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 9 (p = 0,15), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)

Laukiamoji vertė

E(G) = 9·0,15 + 57·0,05 − 3·0,8 = 1,8 €

Atsakymas

E(G) = 1,8 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,515

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−0,45) = 0,8413 − 0,3264 = 0,515

Atsakymas

P = 0,515

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 255,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Atsakymas

x = 255,2 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 4,019

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/324) = 0,522

Nauja paklaidos riba

E₂ = 7,7·0,522 = 4,019

Atsakymas

E₂ = 4,019

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −14,26 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (8·1,5² + 6·3,5²)/14 = 6,536

s_p = 2,557

Paklaidos riba

E = 2,145·2,557·√(1/9 + 1/7) = 2,764

Intervalas

−11,5 ± 2,764 → [−14,26, −8,736]

Atsakymas

apatinis rėžis = −14,26 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,602

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 9,9/√15 = 2,556

Testo statistika

t = 6,65/2,556 = 2,602

Atsakymas

t = 2,602

Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 199,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·4/√36 = 1,717

Intervalo rėžis

L = 201,1 − 1,717 = 199,4

Atsakymas

L = 199,4

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9452

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 226/6 = 37,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 409,3

Koreliacijos koeficientas

r = 160/√(70·409,3) = 0,9452

Atsakymas

r = 0,9452

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,574

Vidurkiai

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100,5

Regresijos tiesė

b = 100,5/17,5 = 5,743

a = 59,83 − 5,743·4,5 = 33,99

ŷ = 33,99 + 5,743·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (66 − 33,99)/5,743 = 5,574

Atsakymas

x = 5,574

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,875

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 60·104/160 = 39, 60·56/160 = 21

moterys: 100·104/160 = 65, 100·56/160 = 35

Chi kvadrato statistika

χ² = (35 − 39)²/39 + (25 − 21)²/21 + (69 − 65)²/65 + (31 − 35)²/35

χ² = 1,875

Atsakymas

χ² = 1,875

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 44,01

Tikėtini dažniai

gamykla A: 32, 8

gamykla B: 48, 12

gamykla C: 80, 20

Chi kvadrato statistika

χ² = (39 − 32)²/32 + (1 − 8)²/8 + (31 − 48)²/48 + (29 − 12)²/12 + (90 − 80)²/80 + (10 − 20)²/20

χ² = 44,01

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

44,01 > 9,210

Atsakymas

χ² = 44,01

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology