Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Ekologinis validumas reiškia:
- AKiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
- BAr testas prognozuoja būsimą elgesį
- CKiek testas nuoseklus laikui bėgant
- DAr testas atrodo matuojantis tai, kas reikia
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrimas nustato, kad daugiau miegantys studentai turi geresnius pažymius. Kuris plano pakeitimas geriausiai leistų daryti priežastinę išvadą?
- AAtsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
- BApklausti daugiau studentų
- CPaprašyti studentų du kartus nurodyti savo miegą ir apskaičiuoti abiejų atsakymų vidurkį
- DTiksliau matuoti pažymius
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 17, 55, 45, 20, 23, 19, 51.
n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 515?
μ = 500σ = 25x = 515
P =
5.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 9k = 5
N =
6.TikimybėSunkus
Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 6p = 0,3
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 245 ir 252,5 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 252,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 30 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.30%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 elementų imties vidurkis – 38, standartinis nuokrypis s = 9. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 15x̄ = 38s = 995%t(14) = 2,145
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 9 sklypų, vidutinis derlius 86,5 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 81 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n₁ = 9x̄₁ = 86,5s₁ = 7,5n₂ = 7x̄₂ = 81s₂ = 4,590%t(14) = 1,761
E = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 72,5, standartinis nuokrypis 9. 2 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 68,5, standartinis nuokrypis 4,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 10x̄₁ = 72,5s₁ = 9n₂ = 11x̄₂ = 68,5s₂ = 4,5
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 11. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,05galia = 90%δ = 4σ = 11zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 48Σy = 395Σx² = 454Σy² = 26959Σxy = 3413
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 28). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 28)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 8 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Kiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
Kodėl tai yra atsakymas
Ekologinis validumas susijęs su tuo, ar rezultatai tinka kasdienėms situacijoms. Griežtai kontroliuojami laboratoriniai tyrimai šiuo požiūriu dažnai vertinami prastai.
Atsakymas
A · Kiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
Kodėl tai yra atsakymas
Tik manipuliuojant miegu ir atsitiktinai priskiriant dalyvius kontroliuojami tretieji kintamieji ir galima priežastinė išvada, laikantis etikos ribų.
Atsakymas
A · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,7
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 230/7 = 32,86
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−15,86)² + 22,14² + 12,14² + (−12,86)² + (−9,857)² + (−13,86)² + 18,14² = 1673
Standartinis nuokrypis
s = √(1673/6) = 16,7
Atsakymas
s = 16,7
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,2743
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Atsakymas
P = 0,2743
5.Tikimybė
Atsakymas: N = 126
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Atsakymas
N = 126
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4202
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,76 = 0,1176
P(X = 1) = 6·0,3·0,75 = 0,3025
Sudėkite
P = 0,1176 + 0,3025 = 0,4202
Atsakymas
P = 0,4202
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,5328
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Plotas tarp
P = Φ(0,5) − Φ(−1) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328
Atsakymas
P = 0,5328
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 59,8 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,3
z iš lentelės
z ≈ −0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 tšk.
Atsakymas
x = 59,8 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,985
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·9/√15 = 4,985
Atsakymas
E = 4,985
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,67 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (8·7,5² + 6·4,5²)/14 = 40,82
sp = 6,389
Paklaidos riba
E = 1,761·6,389·√(1/9 + 1/7) = 5,67
Atsakymas
E = 5,67 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,307
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (9·9² + 10·4,5²)/19 = 49,03
sp = 7,002
Standartinė paklaida
SE = 7,002·√(1/10 + 1/11) = 3,059
Testo statistika
t = (72,5 − 68,5)/3,059 = 1,307
Atsakymas
t = 1,307
Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 65
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,282)·11/4)² = 64,79
Apvalinkite aukštyn
n = 65
Atsakymas
n = 65
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9786
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 3413 − 48·395/6 = 253
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 26959 − 395²/6 = 954,8
Koreliacijos koeficientas
r = 253/√(70·954,8) = 0,9786
Atsakymas
r = 0,9786
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Regresijos tiesė
b = −35/17,5 = −2
a = 20 − (−2)·3,5 = 27
ŷ = 27 − 2·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 27 + (−2)·1,5 = 24
Liekana
e = 28 − 24 = 4
Atsakymas
e = 4
Taškas yra virš tiesės.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 2,604
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
rūkantieji: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48
nerūkantieji: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24
Chi kvadrato statistika
χ² = (67 − 72)²/72 + (53 − 48)²/48 + (41 − 36)²/36 + (19 − 24)²/24
χ² = 2,604
Atsakymas
χ² = 2,604
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 16,81
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 8 − 1 − 1 = 6
Lentelė
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Atsakymas
χ²crit = 16,812
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology