Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

15 punktų nerimo skalės Cronbacho alfa, lygi 0,88, rodo:

  1. AKad įverčiai stabilūs šešis mėnesius
  2. BGerą punktų vidinį suderinamumą
  3. CKad skalė turi reikšmingą poveikį nerimui
  4. DKad skalė gerai prognozuoja būsimą nerimą
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

  1. AApklausta bent 1,000 dalyvių
  2. BGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
  3. CPatvirtinama pradinė hipotezė
  4. DPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
25303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 27, 56, 24, 36, 35.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 47,5?

μ = 70σ = 15x = 47,5
P =
5.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2?3?4?5?6?7P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 7 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 7
P =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−100,79400,2900,01

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €50 su tikimybe 0,2 ir €100 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€50: p = 0,2€100: p = 0,01
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
166,8190,6P = ?

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 166,8 ir 190,6 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x1 = 166,8x2 = 190,6
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
557085100115130145tšk.apačia 90%

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.90%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 20, s = 5,5LU = ?x̄ = 27,5E95%

20 elementų imties vidurkis – 27,5, standartinis nuokrypis s = 5,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 20x̄ = 27,5s = 5,595%t(19) = 2,093
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 11. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 11E = 1,599%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,0862,086t = ?df = 20

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 17 studentų, vidutinis rezultatas 65,5, standartinis nuokrypis 9. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 59,6, standartinis nuokrypis 4,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 17x̄₁ = 65,5s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 59,6s₂ = 4,5
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,01βσ = 21, galia 90%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 21. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 90%δ = 3σ = 21zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy24445566687610871295xy510406080100

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 42Σy = 423Σx² = 364Σy² = 31687Σxy = 3322
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2394466548701079xy510406080x = 3

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 37). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3, 37)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas641680placebas202040Iš viso8436120

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
išlaikėneišlaikėIš visogamykla A413980gamykla B404080gamykla C2377100Iš viso104156260dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2603 × 2α = 0,01
χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Gerą punktų vidinį suderinamumą

Kodėl tai yra atsakymas

Cronbacho alfa įvertina vidinį suderinamumą; maždaug 0,7 ar didesnės reikšmės paprastai laikomos priimtinomis. Pati savaime ji neparodo validumo.

Atsakymas

B · Gerą punktų vidinį suderinamumą
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,7

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 233/6 = 38,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 16,17² + (−11,83)² + 17,17² + (−14,83)² + (−2,833)² + (−3,833)² = 938,8

Standartinis nuokrypis

s = √(938,8/5) = 13,7

Atsakymas

s = 13,7
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7209

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Atsakymas

P = 0,7209
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 40 (p = 0,2), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Laukiamoji vertė

E(G) = 40·0,2 + 90·0,01 − 10·0,79 = 1 €

Atsakymas

E(G) = 1 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9093

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6
z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Plotas tarp

P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093

Atsakymas

P = 0,9093
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 119,2 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 tšk.

Atsakymas

x = 119,2 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 30,07

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Paklaidos riba

E = 2,093·5,5/√20 = 2,574

Intervalas

27,5 ± 2,574 → [24,93, 30,07]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 30,07
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 357

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·11/1,5)² = 356,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 357

Atsakymas

n = 357
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,398

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

sp² = (16·9² + 4·4,5²)/20 = 68,85
sp = 8,298

Standartinė paklaida

SE = 8,298·√(1/17 + 1/5) = 4,221

Testo statistika

t = (65,5 − 59,6)/4,221 = 1,398

Atsakymas

t = 1,398

Kai df = 20, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,086; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 638

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,282)·21/3)² = 637,9

Apvalinkite aukštyn

n = 638

Atsakymas

n = 638
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,999

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 3322 − 42·423/6 = 361
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 31687 − 423²/6 = 1866

Koreliacijos koeficientas

r = 361/√(70·1866) = 0,999

Atsakymas

r = 0,999
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −5

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 288/5 = 57,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Regresijos tiesė

b = 208/40 = 5,2
a = 57,6 − 5,2·6 = 26,4
ŷ = 26,4 + 5,2·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 26,4 + 5,2·3 = 42

Liekana

e = 37 − 42 = −5

Atsakymas

e = −5

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 11,43

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 80·84/120 = 56, 80·36/120 = 24
placebas: 40·84/120 = 28, 40·36/120 = 12

Chi kvadrato statistika

χ² = (64 − 56)²/56 + (16 − 24)²/24 + (20 − 28)²/28 + (20 − 12)²/12
χ² = 11,43

Atsakymas

χ² = 11,43

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 19,59

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

gamykla A: 32, 48
gamykla B: 32, 48
gamykla C: 40, 60

Chi kvadrato statistika

χ² = (41 − 32)²/32 + (39 − 48)²/48 + (40 − 32)²/32 + (40 − 48)²/48 + (23 − 40)²/40 + (77 − 60)²/60
χ² = 19,59

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 9,210
19,59 > 9,210

Atsakymas

χ² = 19,59

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology