Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tobulame normaliajame skirstinyje:

  1. AVidurkis, mediana ir moda lygūs
  2. BDauguma įverčių yra uodegose
  3. CVidurkis visada didesnis už medianą
  4. DModa yra mažiausias įvertis
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Teminėje analizėje analitikas daugiausia:

  1. AApskaičiuoja kiekvienos temos vidutinį įvertį, kad jas būtų galima statistiškai palyginti
  2. BNustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse
  3. CTikrina skaitinę hipotezę
  4. DSkaičiuoja tik žodžių dažnius
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
10152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 12, 10, 29, 28, 59.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 63?

μ = 60σ = 5x = 63
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)100,25200,35300,15400,25μ = 24

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,1: P(X = 3) = ?k0123456789101112

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 12p = 0,1k = 3
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9634

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9634. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9634
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
35455565758595tšk.apačia 80%

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.80%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 93,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 13 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 82 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 93,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 50x̄₂ = 82 hσ₂ = 9 h99%
viršutinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 15Lσ = ?s = 995%

15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.

n = 15s = 9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,99801,998

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 500,4, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 4n = 64
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ > 80 atliekamas, kai α = 0,05, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 7,5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 81,65. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 80μ = 81,65σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2474576708731085xy5106080

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 332Σx² = 220Σy² = 22912Σxy = 2176
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy146251364462572xy24506070x = 1,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.

n = 5x = 1,5
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina12232560naktinė pamaina8221040Iš viso204535100

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1002 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Vidurkis, mediana ir moda lygūs

Kodėl tai yra atsakymas

Normalusis skirstinys simetriškas ir varpo formos, todėl visi trys centrinės tendencijos matai yra centre.

Atsakymas

A · Vidurkis, mediana ir moda lygūs
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse

Kodėl tai yra atsakymas

Teminė analizė apima susipažinimą su duomenimis, kodavimą, temų kūrimą, peržiūrą ir įvardijimą bei ataskaitos rašymą; jos dėmesys – prasmė, o ne statistika.

Atsakymas

B · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,51

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 180/6 = 30

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 12² + (−18)² + (−20)² + (−1)² + (−2)² + 29² = 1714

Standartinis nuokrypis

s = √(1714/5) = 18,51

Atsakymas

s = 18,51
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7257

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Atsakymas

P = 0,7257
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 124

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,25 = 24

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 700

Dispersija

Var(X) = 700 − 24² = 124

Atsakymas

Var(X) = 124
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,08523

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 3) = 220·0,13·0,99 = 220·0,001·0,3874 = 0,08523

Atsakymas

P = 0,08523
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,09

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9634)/2 = 0,9817

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9817 ir nuskaitykite z.

z = 2,09

Atsakymas

z = 2,09
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 73,4 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,8

z iš lentelės

z ≈ 0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 tšk.

Atsakymas

x = 73,4 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 17,26 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 93,5 − 82 = 11,5

Standartinė paklaida

SE = √(13²/50 + 9²/50) = 2,236

Paklaidos riba

E = 2,576·2,236 = 5,76

Intervalas

11,5 ± 5,76 → [5,74, 17,26]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 17,26 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 14,19 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 14·9² = 1134

σ² rėžiai

1134/26,119 = 43,42
1134/5,629 = 201,5

σ rėžis

σ = √201,5 = 14,19 µm

Atsakymas

σ = 14,19 µm

σ 95 % intervalas: [6,589, 14,19] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Testo statistika

t = (500,4 − 500)/0,5 = 0,8

Atsakymas

t = 0,8
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 29,29 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 80 + 1,645·1,5 = 82,47

z esant tikrajam vidurkiui

z = (82,47 − 81,65)/1,5 = 0,545

Galia

galia = P(Z > 0,545) = 29,29%
1 − β = 29,29%

Atsakymas

1 − β = 29,29%
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9879

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 2176 − 30·332/5 = 184
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 22912 − 332²/5 = 867,2

Koreliacijos koeficientas

r = 184/√(40·867,2) = 0,9879

Atsakymas

r = 0,9879
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 49,55

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 295/5 = 59

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63

Regresijos tiesė

b = 63/10 = 6,3
a = 59 − 6,3·3 = 40,1
ŷ = 40,1 + 6,3·x

Prognozė

ŷ = 40,1 + 6,3·1,5 = 49,55

Atsakymas

ŷ = 49,55
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 3,386

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21
naktinė pamaina: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

Chi kvadrato statistika

χ² = (12 − 12)²/12 + (23 − 27)²/27 + (25 − 21)²/21 + (8 − 8)²/8 + (22 − 18)²/18 + (10 − 14)²/14
χ² = 3,386

Atsakymas

χ² = 3,386

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 15,51

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Lentelė

χ²crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

Atsakymas

χ²crit = 15,507

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology