Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Koreliacijoje r = 0,40. Kokia vieno kintamojo dispersijos dalis bendra su kitu?

A60%
B4%
C40%
D16%

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Dalyvis vartoja vaistą arba cukraus tabletę, bet nežino, kurį, o tyrėjas žino. Koks tai planas ir koks šališkumas lieka galimas?

ADvigubas aklumas; joks šališkumas negalimas
BAtviras tyrimas; placebo efektai visiškai kontroliuojami
CVienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas
DVienkartinis aklumas; užduoties reikalavimų požymiai neįmanomi

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 27, 42, 40, 15, 34, 35.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 85 z įvertį z.

μ = 70σ = 10x = 85

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 8p = 0,5k = 3

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 740,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,5. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 576 stebėjimų?

99%n₁ = 64E₁ = 11,5n₂ = 576

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 9. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 9E = 199%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 128,7, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 128,7s = 12n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 5E = 0,599%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 33?

n = 6ŷ = 33

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · 16%

Kodėl tai yra atsakymas

Determinacijos koeficientas yra r², šiuo atveju 0,40² = 0,16, todėl 16% dispersijos yra bendra.

Atsakymas

D · 16%

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Vienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas

Kodėl tai yra atsakymas

Vienkartinio aklumo plane dalyviai nežino savo sąlygos, o tai kontroliuoja placebo lūkesčius. Tyrėjo žinojimas vis dar gali paveikti rezultatus, todėl labiau pageidaujami dvigubo aklumo planai.

Atsakymas

C · Vienkartinis aklumas; eksperimentatoriaus šališkumas vis dar galimas

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,928

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 236/7 = 33,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 9,286² + (−6,714)² + 8,286² + 6,286² + (−18,71)² + 0,2857² + 1,286² = 591,4

Standartinis nuokrypis

s = √(591,4/6) = 9,928

Atsakymas

s = 9,928

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Standartizuokite

z = (85 − 70)/10 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,16

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 = 1,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 = 2,6

Dispersija

Var(X) = 2,6 − 1,2² = 1,16

Atsakymas

Var(X) = 1,16

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2188

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 3) = 56·0,5³·0,5⁵ = 56·0,125·0,03125 = 0,2188

Atsakymas

P = 0,2188

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8264

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Atsakymas

P = 0,8264

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 3,833

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333

Nauja paklaidos riba

E₂ = 11,5·0,3333 = 3,833

Atsakymas

E₂ = 3,833

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 538

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·9/1)² = 537,5

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 538

Atsakymas

n = 538

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (128,7 − 120)/3 = 2,9

Atsakymas

t = 2,9

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 664

Išreikškite n

n = (2,576·5/0,5)² = 663,6

Apvalinkite aukštyn

n = 664

Atsakymas

n = 664

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9831

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 407,3

Koreliacijos koeficientas

r = 166/√(70·407,3) = 0,9831

Atsakymas

r = 0,9831

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 8,915

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 154/6 = 25,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

Regresijos tiesė

b = 268/70 = 3,829

a = 25,67 − 3,829·7 = −1,133

ŷ = −1,133 + 3,829·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (33 − (−1,133))/3,829 = 8,915

Atsakymas

x = 8,915

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,972

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

studentai: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27

darbuotojai: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27

Chi kvadrato statistika

χ² = (8 − 9)²/9 + (19 − 24)²/24 + (33 − 27)²/27 + (10 − 9)²/9 + (29 − 24)²/24 + (21 − 27)²/27

χ² = 4,972

Atsakymas

χ² = 4,972

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6

Tikėtini dažniai

gamykla A: 24, 56

gamykla B: 12, 28

gamykla C: 30, 70

Chi kvadrato statistika

χ² = (32 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (10 − 12)²/12 + (30 − 28)²/28 + (24 − 30)²/30 + (76 − 70)²/70

χ² = 6

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

6 > 5,991

Atsakymas

χ² = 6

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology