Soalan latihan AP Calculus: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (6x² − x + 4)/(5x² + 5x + 3).

f(x) = (6x² − x + 4)/(5x² + 5x + 3)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^−0.5x. Cari f′(1.5).

f(x) = x³·e^−0.5xx = 1.5

f′(1.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² + 2x + 1 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² + 2x + 1x = 3

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebuah tin silinder tertutup (dengan penutup atas dan bawah) mesti memuatkan 750 cm³. Logam yang digunakan berkadar dengan jumlah luas permukaan. Cari tinggi h tin yang menggunakan bahan paling sedikit.

V = 750 cm³

h = cm

6.PengoptimumanSukar

Sebuah firma kecil menjual produknya pada harga pasaran tetap €50 seunit. Mengeluarkan q unit menelan kos C(q) = 600 + 14q + 0.2q² euro. Cari keluaran q yang memaksimumkan keuntungan.

p = €50C = 600 + 14q + 0.2q²

q = unit

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀^π x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 9 − x² dan paksi-x.

y = 9 − x²

A =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 6. Cari y(2).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 6

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 2y′ + 17y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.25); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.25) =

11.Jujukan & siriSederhana

Siri kuasa Σ_k=1^∞ k!·(x − 1)ᵏ/kᵏ menumpu pada selang di sekitar x₀ = 1. Cari hujung kiri x selang itu.

Σ k!·(x − 1)ᵏ/kᵏx₀ = 1

x =

12.Jujukan & siriSukar

f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 2 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 8, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 1 × 10⁻⁵

n =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 1.2

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(6 + (−1)/x + 4/x²)/(5 + 5/x + 3/x²)

Biarkan x → ∞

L = 6/5 = 1.2

Jawapan

L = 1.2

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Gantikan x = 0

L = 1/2 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(1.5) = 2.391

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(3x² + (−0.5)·x³)

Gantikan

f′(1.5) = 0.4724·(6.75 + (−1.688)) = 2.391

Jawapan

f′(1.5) = 2.391

4.Terbitan

Jawapan: b = −3.5

Titik dan kecerunan

f(3) = 11.5

f′(x) = x + 2 → f′(3) = 5

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11.5 − 5·3 = −3.5

Jawapan

b = −3.5

5.Pengoptimuman

Jawapan: h = 9.847 cm

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

Tetapkan terbitan kepada sifar

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, maka ini ialah minimum.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm

Tinggi dan luas

h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm

A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²

Jawapan

h = 9.847 cm

Tin tertutup yang paling murah adalah setinggi lebarnya: h = 2r.

6.Pengoptimuman

Jawapan: q = 90 unit

Fungsi keuntungan

P(q) = 50q − (600 + 14q + 0.2q²) = −0.2q² + 36q − 600

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.

36 − 0.4q = 0 → q = 90

Keuntungan maksimum

P = 36·90 − 0.2·90² − 600 = €1020

Jawapan

q = 90

7.Kamiran

Jawapan: I = 3.142

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiterbitan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Had

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142

Jawapan

I = 3.142

8.Kamiran

Jawapan: A = 36

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

9 − x² = 0 → x = ±3

Kamirkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawapan

A = 36

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 1.049

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −1A − 5B = 6

A = 7.75, B = −2.75

Nilaikan

y(2) = 7.75·e⁻² + (−2.75)·e⁻¹⁰ = 1.049

Jawapan

y(2) = 1.049

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.25) = 2.923

Punca kompleks

r = −1 ± 4j

Pemalar

A = 5, B = 1·5/4 = 1.25

Nilaikan

y(0.25) = e^−0.25(5·cos 1 + 1.25·sin 1) = 2.923

Jawapan

y(0.25) = 2.923

11.Jujukan & siri

Jawapan: x = −1.718

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pekali

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Jejari

R = 2.718

Selang

−1.718 < x < 3.718

x = −1.718

Jawapan

x = −1.718

Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.

12.Jujukan & siri

Jawapan: n = 13

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had untuk n yang meningkat

n = 12: 1.052 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 13: 1.503 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Darjah terkecil

n = 13

Jawapan

n = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice