Soalan latihan AP Calculus: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(9x² − 10x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 10x) − 3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(2x² + 5). Cari f′(3).

f(x) = ln(2x² + 5)x = 3

f′(3) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = x² − 2x − 4 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = x² − 2x − 4x = 3

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 13500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari luas permukaan minimum S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.PengoptimumanSukar

Sebuah panggung menjual 960 tiket setiap pertunjukan pada harga €10 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 40 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 40 lebih). Cari hasil maksimum R setiap pertunjukan.

960 × €1040 / €1

R = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^0.5x dx.

f(x) = e^0.5x[0, 3]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 4y′ + 3y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = 2. Cari y(2).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 400 L air yang di dalamnya terlarut 5 kg garam. Air garam dengan 0.2 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 75 min?

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.Jujukan & siriSederhana

Cari hasil tambah S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 4)).

a_k = 3/(k(k + 4))

S =

12.Jujukan & siriSukar

Kenali siri itu dan cari hasil tambahnya: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/k!.

a_k = (−1)ᵏ/k!

S =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −1.667

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −10x/(√(9x² − 10x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −10/(√(9 + (−10)/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = −10/(3 + 3) = −1.667

Jawapan

L = −1.667

2.Had

Jawapan: L = 2

Penggunaan pertama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·e^2x/2

Gantikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(3) = 0.5217

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Gantikan

f′(3) = 12/23 = 0.5217

Jawapan

f′(3) = 0.5217

4.Terbitan

Jawapan: b = −13

Titik dan kecerunan

f(3) = −1

f′(x) = 2x − 2 → f′(3) = 4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − 4·3 = −13

Jawapan

b = −13

5.Pengoptimuman

Jawapan: S = 2700 cm²

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 54000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Tinggi dan luas

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Jawapan

S = 2700 cm²

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: R = 11560 €

Hasil sebagai fungsi harga

n(p) = 1360 − 40p

R(p) = 1360p − 40p²

Tetapkan terbitan kepada sifar

R″(p) = −80 < 0, maka ini ialah maksimum.

p = 1360/80 = €17

Hasil maksimum

n = 1360 − 40·17 = 680

R = 17·680 = €11560

Jawapan

R = €11560

7.Kamiran

Jawapan: I = 6.963

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^0.5x/0.5

Nilaikan pada had

I = (e^1.5 − 1)/0.5 = (4.482 − 1)/0.5 = 6.963

Jawapan

I = 6.963

8.Kamiran

Jawapan: A = 0.1667

Titik persilangan

x² = x → x = 0, x = 1

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

Jawapan

A = 0.1667

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.9399

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 4, −1A − 3B = 2

A = 7, B = −3

Nilaikan

y(2) = 7·e⁻² + (−3)·e⁻⁶ = 0.9399

Jawapan

y(2) = 0.9399

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 50.63 kg

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.2 − (5/400)·m = 1 − 0.0125·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 80 + (−75)·e^−t/80

Gantikan t

m(75) = 80 + (−75)·0.3916 = 50.63 kg

Jawapan

m = 50.63 kg

11.Jujukan & siri

Jawapan: S = 1.562

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

3/(k(k + 4)) = (3/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Batal

S = (3/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1.562

Jawapan

S = 1.562

12.Jujukan & siri

Jawapan: S = 0.3679

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Siri piawai

Σ xᵏ/k! = eˣ

Gantikan

x = −1

S = e⁻¹ = 0.3679

Jawapan

S = 0.3679

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice