Soalan latihan AP Statistics: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 12, 22, 25, 31, 19.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 57.2?

μ = 50σ = 12x = 57.2

P =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 10? Susunan tidak penting.

n = 10k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.2 dan €250 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€20: p = 0.2€250: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 88 dan 130 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 130

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (2.5, 64) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(2.5, 64)

e =

9.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 9 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.7 dan sisihan piawai 3.1. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 9d̄ = 7.7s_d = 3.190%t(8) = 1.86

had bawah = mmHg

10.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 14 petak, min hasil 31.5 kg, sisihan piawai 8 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 20 kg, sisihan piawai 4.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 31.5s₁ = 8n₂ = 8x̄₂ = 20s₂ = 4.599%t(20) = 2.845

had bawah = kg

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 500; sisihan piawai populasi diketahui ialah 40. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 508.64. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ > 500. Cari nilai-p p.

μ₀ = 500σ = 40n = 100x̄ = 508.64H₁: μ > μ₀

p =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ > 50 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 25. Pada hakikatnya min ialah 58.25. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 50μ = 58.25σ = 25n = 100α = 0.01

β = %

13.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “pelajar, kereta”.

jumlah baris = 40jumlah lajur = 42N = 153

E =

14.Ujian khi kuasa duaSukar

Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 3 baris dan 6 lajur (tidak termasuk jumlah). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?

3 × 6

df =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.82

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 169/6 = 28.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 31.83² + (−16.17)² + (−6.167)² + (−3.167)² + 2.833² + (−9.167)² = 1415

Sisihan piawai

s = √(1415/5) = 16.82

Jawapan

s = 16.82

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 210

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Jawapan

N = 210

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 4 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 15 (p = 0.2), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.78)

Nilai jangkaan

E(G) = 15·0.2 + 245·0.02 − 5·0.78 = 4 €

Jawapan

E(G) = 4 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7654

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(−0.8) = 0.9772 − 0.2119 = 0.7654

Jawapan

P = 0.7654

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9896

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 271/5 = 54.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 188.8

Pekali korelasi

r = 43/√(10·188.8) = 0.9896

Jawapan

r = 0.9896

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 5.5

Min

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 315/5 = 63

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

Garis regresi

b = 30/10 = 3

a = 63 − 3·4 = 51

ŷ = 51 + 3·x

Nilai ramalan

ŷ = 51 + 3·2.5 = 58.5

Reja

e = 64 − 58.5 = 5.5

Jawapan

e = 5.5

Titik itu terletak di atas garis.

9.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 5.778 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 8, t = 1.86

Margin ralat

E = 1.86·3.1/√9 = 1.922

Selang

7.7 ± 1.922 → [5.778, 9.622]

Jawapan

had bawah = 5.778 mmHg

10.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 2.702 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (13·8² + 7·4.5²)/20 = 48.69

s_p = 6.978

Margin ralat

E = 2.845·6.978·√(1/14 + 1/8) = 8.798

Selang

11.5 ± 8.798 → [2.702, 20.3]

Jawapan

had bawah = 2.702 kg

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (508.64 − 500)/4 = 2.16

Luas ekor

Φ(2.16) = 0.9846

1 − Φ(2.16) = 0.0154

Nilai-p

p = 0.01539

Jawapan

p = 0.01539

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 16.5 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 25/√100 = 2.5

x̄_c = 50 + 2.326·2.5 = 55.81

z di bawah min sebenar

z = (55.81 − 58.25)/2.5 = −0.974

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z > −0.974) = 83.5%

β = 100% − 83.5% = 16.5%

Jawapan

β = 16.5%

13.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: E = 10.98

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

E = 40·42/153 = 10.98

Jawapan

E = 10.98

14.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: df = 10

Darjah kebebasan

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Jawapan

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice