Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −56 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −568 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1011 0101 OR 0100 0111. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1011 0101OR0100 0111

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan r → q secara percanggahan. Pernyataan manakah yang anda andaikan pada permulaan? Klik pernyataan itu.

r → q

1¬r → ¬q
2r ∧ ¬q
3¬r ∧ ¬q
4¬r ∧ q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ((q → p) → (s ∨ r)) ∧ ((¬p → ¬r) ∨ s) benar? Panggil nombor ini N.

((q → p) → (s ∨ r)) ∧ ((¬p → ¬r) ∨ s)

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = C, I₁ = C′, I₂ = C, I₃ = C′. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = CI₁ = C′I₂ = CI₃ = C′

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop T dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0T

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Selesaikan 11x ≡ 3 (mod 13). Beri penyelesaian x dengan 0 < x < 13.

11x ≡ 3 (mod 13)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 5, q = 47 dan e = 3. Nyahsulit teks sulit c = 2: cari mesej m.

p = 5q = 47e = 3c = 2

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n − 1) + O(n)?

AO(n log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(2ⁿ)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah algoritma Dijkstra boleh memberikan keputusan yang salah apabila sesetengah pemberat sisi negatif?

ASesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
BNombor negatif tidak boleh disimpan dalam baris gilir keutamaan
CIa masuk ke dalam gelung tak terhingga pada setiap sisi negatif
DIa hanya berfungsi pada graf tidak berarah

11.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah carian perkataan sepanjang L dalam trie dengan abjad tetap?

AO(L × n)
BO(log n), dengan n ialah bilangan perkataan
CO(n), dengan n ialah bilangan perkataan
DO(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan

12.Struktur dataSukar

Nod AVL tidak seimbang kerana subpokok kanan anak kirinya menjadi terlalu tinggi (kes kiri-kanan). Pembetulan manakah yang digunakan?

ASatu putaran kanan tunggal pada nod
BSatu putaran kiri tunggal pada nod
CPutaran kiri pada anak kiri, kemudian putaran kanan pada nod
DPutaran kanan pada anak kiri, kemudian putaran kiri pada nod

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₅? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₅

H =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pertanyaan manakah yang menyenaraikan pelanggan yang tidak pernah membuat pesanan?

ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
BSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL
DSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah bacaan hantu (phantom read)?

AMembaca data yang tidak pernah ditulis
BPertanyaan yang tidak memulangkan baris
CMembaca perubahan yang belum dikomit
DPertanyaan berulang memulangkan baris baharu yang disisipkan oleh transaksi lain yang telah dikomit

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah UDP sering dipilih untuk panggilan video langsung?

AUDP menjamin setiap paket sampai, jadi gambar tidak pernah beku
BKelewatan rendah lebih penting daripada menghantar semula setiap paket yang hilang
CUDP menyulitkan data secara automatik
DUDP diperlukan untuk semua video

18.Rangkaian komputerSukar

Apakah unit penghantaran maksimum (MTU) muatan Ethernet standard?

A1500 bait
B65,535 bait
C64 bait
D9000 bait dalam setiap rangkaian

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.167.0/24 dibahagikan kepada subnet /25, bernombor 1, 2, 3, … dari alamat terendah (subnet 1 bermula pada .0). Apakah oktet keempat x alamat rangkaian subnet 2?

192.168.167.0/24/25subnet 2 (subnet 1 bermula pada .0)

x =

20.Subnet IPv4Sukar

Satu hos mempunyai alamat 172.20.148.172/20. Apakah oktet ketiga x alamat rangkaiannya?

172.20.148.172/20

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 200

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

56 = 0011 1000

disongsangkan: 1100 0111

+1 → 1100 1000

Baca sebagai tanpa tanda

1100 1000₂ = 256 − 56 = 200

Jawapan

U = 200

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 247

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

OR memberikan 1 di mana sekurang-kurangnya satu bit ialah 1.

1011 0101

OR 0100 0111

= 1111 0111

Nilai hasil

1111 0111₂ = 247

Jawapan

R = 247

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: r ∧ ¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = r, b = q

Penafian implikasi

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = r ∧ ¬q

Jawapan

r ∧ ¬q

Jika andaian membawa kepada percanggahan, implikasi itu mestilah benar.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 11

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

q → p; s ∨ r; (q → p) → (s ∨ r); ¬p; ¬r; ¬p → ¬r; (¬p → ¬r) ∨ s; ((q → p) → (s ∨ r)) ∧ ((¬p → ¬r) ∨ s)

Pecahkan pada p

p = 1: 6

p = 0: 5

N = 6 + 5 = 11

Jawapan

N = 11

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′C + A′BC′ + AB′C + ABC′

Baris dengan F = 1

ABC = 001, 010, 101, 110

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop T bertukar keadaan pada setiap pinggir menaik dengan T = 1 dan kekal dengan T = 0.

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 1 → Q = 1

3: T = 1 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 0 → Q = 0

6: T = 0 → Q = 0

7: T = 1 → Q = 1

Kira perubahan

0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1

N = 3

Jawapan

N = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 5

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Songsangan 11

r = 13, t = 0

r = 11, q = 1, t = 1

r = 2, q = 5, t = −1

r = 1, q = 2, t = 6

11⁻¹ ≡ 6 (mod 13)

Selesaikan

x ≡ 6·3 = 18 ≡ 5 (mod 13)

semakan: 11·5 = 55 ≡ 3 (mod 13)

Jawapan

x = 5

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 68

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 235, φ(n) = 184

d = 3⁻¹ mod 184 = 123

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

123 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1

2¹ ≡ 2 (mod 235)

2² ≡ 4 (mod 235)

2⁴ ≡ 16 (mod 235)

2⁸ ≡ 21 (mod 235)

2¹⁶ ≡ 206 (mod 235)

2³² ≡ 136 (mod 235)

2⁶⁴ ≡ 166 (mod 235)

2¹²³ ≡ 2·4·21·206·136·166 ≡ 68 (mod 235)

Mesej

m = 68

Kira

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Jawapan

H = 12

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 23

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 11, C: 10

C (10): E: 24

B (11): D: 13, G: 24

D (13): E: 19, F: 23, G: 22

E (19)

G (22)

F (23)

Laluan terpendek

A → B → D → F

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet nombor 2

rangkaian: (2 − 1)·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

Jawapan

x = 128

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 144

Saiz blok dalam oktet ketiga

2⁴ = 16

Subnet hos ini

rangkaian: 172.20.144.0

siaran: 172.20.159.255

Jawapan

x = 144

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals