Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −67 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −678 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Apakah integer tanpa tanda terbesar N yang muat dalam 20 bit?

20 bit

N =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah (p → q) ↔ (q → p) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

(p → q) ↔ (q → p)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = ABC′ + ABC + A′B′C′ kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = ABC′ + ABC + A′B′C′

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang riak (tak segerak) 5-bit dibina daripada flip-flop dengan kelewatan perambatan 8 ns setiap satu. Semua output mesti telah mantap sebelum pinggir jam seterusnya. Cari frekuensi jam maksimum f_max.

n = 5t_pd = 8 ns

f_max = MHz

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 12 modulo 43: nombor x dengan 0 < x < 43 dan 12·x ≡ 1 (mod 43).

a = 12n = 43

12⁻¹ mod 43 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

59 ialah nombor perdana. Gunakan teorem kecil Fermat untuk mencari 14⁹⁶⁵⁹ mod 59.

p = 59k = 9659

14⁹⁶⁵⁹ mod 59 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Bagaimanakah algoritma Prim membina pokok rentang minimum?

AIa menumbuhkan satu pokok dari bucu permulaan, dengan menambah sisi termurah yang meninggalkan pokok
BIa mengisih semua sisi mengikut pemberat dan menambah setiap satu kecuali jika ia membentuk kitaran dalam hutan
CIa membuang sisi paling mahal sehingga tiada kitaran tinggal
DIa menjalankan carian pertama lebar dan mengekalkan pokok BFS

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lakukan kerja O(1)?

AO(n)
BO(n²)
CO(n √n)
DO(n log n)

11.Struktur dataSederhana

Dalam timbunan binari yang disimpan dalam tatasusunan bermula pada indeks 0, di manakah induk nod pada indeks i?

APada indeks 2i + 1
BPada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
CPada indeks i − 1
DPada indeks ⌊i / 2⌋ + 1

12.Struktur dataSukar

Dalam jadual cincang yang menggunakan pengalamatan terbuka, mengapakah pemadaman sering dilakukan dengan penanda "batu nisan" (tombstone)?

AMengosongkan slot boleh memecahkan jujukan penyiasatan bagi kunci lain
BBatu nisan mempercepat pencincangan
CKunci yang dipadam mesti disimpan selama-lamanya demi keselamatan, jadi slot tidak boleh digunakan semula
DIa menjadikan jadual tersusun

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₈? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₈

H =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pertanyaan manakah yang memulangkan bilangan bandar berbeza dalam jadual customers?

ASELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
BSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
CSELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
DSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers

16.Pangkalan data & SQLSukar

Mengapakah NATURAL JOIN dianggap berisiko dalam pertanyaan pengeluaran?

AIa mengabaikan kunci utama dan asing dan hanya mengekalkan baris NULL
BIa mencantumkan pada setiap lajur yang bernama sama, maka lajur baharu boleh mengubah hasil secara senyap
CIa tidak disokong oleh sebarang pangkalan data
DIa sentiasa memulangkan hasil darab Cartesian

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang ditentukan oleh rekod MX dalam DNS?

AAlamat IPv4 pelayan web
BNama alias untuk hos lain
CPelayan mel yang menerima e-mel untuk sesuatu domain
DPelayan nama untuk sesuatu zon

18.Rangkaian komputerSukar

Seorang penyerang pada LAN menghantar balasan ARP palsu yang mendakwa alamat IP get laluan. Apakah kemungkinan akibatnya?

ASemua pertanyaan DNS gagal di seluruh internet
BSuis mematikan semua portnya
CAlamat IP get laluan ditukar secara kekal kepada alamat penyerang pada setiap penghala
DMangsa menghantar trafik untuk get laluan kepada penyerang, membolehkan serangan lelaki-di-tengah

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 6 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/246 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah penghala mempunyai laluan ke rangkaian ini: 10.110.145.0/24, 10.110.146.0/24, 10.110.147.0/24, 10.110.148.0/24. Berapakah panjang awalan terpanjang p bagi satu laluan ringkasan yang meliputi kesemuanya?

10.110.145.0/24 … 10.110.148.0/24

p =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 189

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

67 = 0100 0011

disongsangkan: 1011 1100

+1 → 1011 1101

Baca sebagai tanpa tanda

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

Jawapan

U = 189

2.Sistem nombor

Jawapan: N = 1.049 × 10⁶

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Nilai terbesar

2²⁰ − 1 = 1048575

Jawapan

N = 1048575

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: kontingensi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1

p = 1, q = 0: p → q = 0, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 0

p = 0, q = 1: p → q = 1, q → p = 0, (p → q) ↔ (q → p) = 0

p = 0, q = 0: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1

Kelaskan

(p → q) ↔ (q → p): 1, 0, 0, 1

1 dalam 2 daripada 4 baris, 0 dalam yang lain: kontingensi.

Jawapan

kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Jawapan

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 5

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

ABC′ → m(6)

ABC → m(7)

A′B′C′ → m(0)

Kumpulkan dan baca

F = AB + A′B′C′

Kira literal

L = 5

Jawapan

L = 5

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: f_max = 25 MHz

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Masa pemantapan kes terburuk

T = 5·8 ns = 40 ns

Frekuensi maksimum

f_max = 1/40 ns = 25 MHz

Jawapan

f_max = 25 MHz

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 12⁻¹ mod 43 = 18

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·12 (mod 43).

r = 43, t = 0

r = 12, q = 3, t = 1

r = 7, q = 1, t = −3

r = 5, q = 1, t = 4

r = 2, q = 2, t = −7

r = 1, q = 2, t = 18

Songsangan

1 ≡ 18·12 (mod 43)

x = 18

semakan: 12·18 = 216 = 5·43 + 1

Jawapan

12⁻¹ mod 43 = 18

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 14⁹⁶⁵⁹ mod 59 = 40

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

A · Mengosongkan slot boleh memecahkan jujukan penyiasatan bagi kunci lain

13.Teori graf

Jawapan: H = 2520

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Jawapan

H = 2520

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 20

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): C: 12

C (12): B: 27, E: 13, G: 22

E (13): D: 16, F: 20

D (16): B: 21, G: 20

F (20)

G (20)

B (21)

Laluan terpendek

A → C → E → F

Bit untuk dipinjam

2³ = 8 ≥ 6 → b = 3, /27

Hos bagi setiap subnet

2⁵ − 2 = 30

Jawapan

H = 30

20.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Peringkasan laluan: laluan ringkasan a.b.c.0/p meliputi semua rangkaian yang p bit pertamanya sepadan. Tulis oktet yang berbeza bagi rangkaian pertama dan terakhir dalam binari; bilangan bit di hadapan yang sama, campur bit oktet sebelumnya, ialah awalan ringkasan terpanjang.

Bandingkan bit

145 = 10010001

148 = 10010100

bit di hadapan yang sama: 5

Panjang awalan

p = 16 + 5 = 21

Jawapan

p = /21

Laluan ringkasan: 10.110.144.0/21 (ia juga meliputi 4 rangkaian yang tiada dalam senarai).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals