Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −116 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −1168 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1100 1111 XOR 1001 0100. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1100 1111XOR1001 0100

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan p ∨ (r ∧ q)? Klik formula itu.

p ∨ (r ∧ q)

1(p ∨ r) ∧ q
2(p ∨ r) ∧ (p ∨ q)
3(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)
4p ∧ (r ∨ q)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis q → r; p → r dan kesimpulan q → p adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

q → rp → r∴ q → p

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 6, 7). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 6, 7)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0JK

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 12 modulo 41: nombor x dengan 0 < x < 41 dan 12·x ≡ 1 (mod 41).

a = 12n = 41

12⁻¹ mod 41 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 11, q = 41 dan e = 7. Nyahsulit teks sulit c = 439: cari mesej m.

p = 11q = 41e = 7c = 439

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Hubungan jadi semula T(n) = 2T(n/2) + O(n) mempunyai penyelesaian:

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n²)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lakukan kerja O(1)?

AO(n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n √n)

11.Struktur dataSederhana

Mengapakah timbunan binari boleh disimpan dalam tatasusunan tanpa sebarang penuding?

AIa pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
BSemua kunci dalam timbunan adalah sama
CTimbunan tidak pernah mengandungi lebih daripada 100 elemen
DTatasusunan secara automatik mengekalkan kunci dalam susunan tersusun, jadi tiada penuding diperlukan

12.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mengekalkan setiap pokok-B seimbang dengan sempurna?

ASetiap nod menyimpan satu kunci
BSetiap nod mempunyai tepat dua anak
CKunci disimpan hanya di akar
DSemua daun berada pada kedalaman yang sama

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 9 bucu dan 10 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 9|E| = 10

k =

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 5|E| = 7

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Bentuk normal kedua (2NF) menghapuskan:

AKebergantungan separa lajur bukan kunci pada sebahagian kunci gubahan
BSemua nilai NULL
CKunci asing
DKebergantungan transitif antara lajur bukan kunci melalui satu lagi lajur bukan kunci

16.Pangkalan data & SQLSukar

Diberi kebergantungan fungsi A → B, B → C dan C → D pada R(A, B, C, D), apakah penutupan (closure) A⁺?

A{A, B, C, D}
B{A, B}
C{A}
D{A, B, C}

17.Rangkaian komputerSederhana

Pelayar menerima kod status HTTP 404. Apakah maksudnya?

APelayan mengalami ralat dalaman
BSumber yang diminta tidak ditemui
CKlien mesti log masuk dahulu
DPermintaan berjaya

18.Rangkaian komputerSukar

Tembok api menyekat semua ICMP. Permintaan web kecil berfungsi, tetapi muat turun besar melalui sesetengah laluan tergantung. Apakah puncanya?

ATCP tidak dapat membuka sambungan tanpa ICMP
BSijil TLS dihantar melalui ICMP
CDNS memerlukan ICMP untuk menyelesaikan nama
DPenemuan MTU laluan gagal kerana mesej "pemecahan diperlukan" disekat

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 443 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

443 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.17.70/26. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.17.70/26

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 140

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

116 = 0111 0100

disongsangkan: 1000 1011

+1 → 1000 1100

Baca sebagai tanpa tanda

1000 1100₂ = 256 − 116 = 140

Jawapan

U = 140

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 91

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1100 1111

XOR 1001 0100

= 0101 1011

Nilai hasil

0101 1011₂ = 91

Jawapan

R = 91

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

∨ teragih ke atas ∧: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

p ∨ (r ∧ q) ≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

Jawapan

(p ∨ r) ∧ (p ∨ q)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p = 0, q = 1, r = 1

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

p = 0, q = 1, r = 1

Jawapan

p = 0, q = 1, r = 1

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Jawapan: 12⁻¹ mod 41 = 24

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·12 (mod 41).

r = 41, t = 0

r = 12, q = 3, t = 1

r = 5, q = 2, t = −3

r = 2, q = 2, t = 7

r = 1, q = 2, t = −17

Songsangan

1 ≡ −17·12 (mod 41)

x = 24

semakan: 12·24 = 288 = 7·41 + 1

Jawapan

12⁻¹ mod 41 = 24

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 252

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 451, φ(n) = 400

d = 7⁻¹ mod 400 = 343

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

343 = 256 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1

439¹ ≡ 439 (mod 451)

439² ≡ 144 (mod 451)

439⁴ ≡ 441 (mod 451)

439⁸ ≡ 100 (mod 451)

439¹⁶ ≡ 78 (mod 451)

439³² ≡ 221 (mod 451)

439⁶⁴ ≡ 133 (mod 451)

439¹²⁸ ≡ 100 (mod 451)

439²⁵⁶ ≡ 78 (mod 451)

439³⁴³ ≡ 439·144·441·78·133·78 ≡ 252 (mod 451)

Mesej

m = 252

Sisi pokok rentang

9 − 1 = 8

Sisi untuk dibuang

k = 10 − 8 = 2

Jawapan

k = 2

14.Teori graf

Jawapan: W = 29

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (1): ambil

BE (2): ambil

D · Penemuan MTU laluan gagal kerana mesej "pemecahan diperlukan" disekat

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 23

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁸ − 2 = 254 < 443

2⁹ − 2 = 510 ≥ 443 → h = 9

Panjang awalan

p = 32 − 9 = 23

Jawapan

p = /23

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 64

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊70/64⌋·64 = 64

siaran: 64 + 64 − 1 = 127

hos boleh guna: 65 … 126

Jawapan

x = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals