Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1101 0001 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1101 00018 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu sistem mesti memberikan setiap satu daripada 3487 item kod perduaan tersendiri dengan panjang yang sama. Apakah bilangan bit terkecil b yang diperlukan?

3487

b = bit

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan (q ∨ p) → ¬r secara kontrapositif. Implikasi manakah yang anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.

(q ∨ p) → ¬r

1¬(q ∨ p) → ¬¬r
2¬¬r → ¬(q ∨ p)
3¬r → (q ∨ p)
4(q ∨ p) ∧ ¬¬r

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis b → a; c → a dan kesimpulan b → c adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

b → ac → a∴ b → c

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang Johnson (gelang berpintal) dibuat daripada 8 flip-flop D, dengan output terakhir yang disongsangkan disuap balik ke input pertama, dan bermula dengan semua sifar. Berapa banyak keadaan berbeza N yang dilaluinya?

n = 8

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 16 modulo 19: nombor x dengan 0 < x < 19 dan 16·x ≡ 1 (mod 19).

a = 16n = 19

16⁻¹ mod 19 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 7, q = 31 dan e = 13. Nyahsulit teks sulit c = 22: cari mesej m.

p = 7q = 31e = 13c = 22

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Pengaturcaraan dinamik berguna apabila sesuatu masalah mempunyai:

AHanya input rawak
BSatu gelung
CSubmasalah bertindih dan substruktur optimum
DTiada submasalah langsung, jadi ia boleh diselesaikan dalam satu langkah

10.Algoritma & kerumitanSukar

Adakah 2²ⁿ dalam O(2ⁿ)?

ATidak, kerana 2²ⁿ = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
BYa, kerana faktor malar dalam eksponen sentiasa diabaikan dalam Big O
CYa, kerana kedua-duanya eksponen
DTidak, kerana 2²ⁿ tumbuh lebih perlahan daripada 2ⁿ

11.Struktur dataSederhana

Apakah tujuan nod sentinel (dummy) dalam senarai berpaut?

AUntuk menyimpan bilangan elemen
BUntuk menjadikan senarai tersusun
CUntuk memudahkan kod dengan membuang kes khas di kepala atau ekor
DUntuk menghalang senarai daripada membesar melebihi bilangan nod maksimum yang tetap

12.Struktur dataSukar

Bagaimanakah pokok radix (trie termampat) memperbaiki trie biasa?

AIa menggabungkan rantai nod satu anak menjadi satu sisi yang berlabel rentetan
BIa menyimpan setiap perkataan dalam jadual cincang di akar dan bukannya dalam nod berasingan
CIa hanya menyimpan huruf pertama setiap perkataan
DIa menyusun anak setiap nod mengikut kekerapan

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 5

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 10

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Sifat ACID manakah yang bermaksud transaksi serentak tidak melihat perubahan belum siap satu sama lain?

AIsolation (pengasingan)
BDurability
CAtomicity
DAvailability

16.Pangkalan data & SQLSukar

Jadual enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) mempunyai kunci (student_id, course_id). Bentuk normal manakah yang dilanggarnya?

ABentuk normal pertama, kerana lajur grade tidak mengandungi nilai atomik
BBentuk normal ketiga sahaja, kerana grade bergantung pada student_name
CBentuk normal kedua, kerana student_name bergantung pada student_id sahaja
DTiada, ia dalam BCNF

17.Rangkaian komputerSederhana

TLS menyediakan sifat keselamatan manakah untuk HTTPS?

APemuatan yang lebih pantas sahaja
BKerahsiaan, integriti dan pengesahan pelayan
CPerlindungan terhadap semua perisian hasad dan pemancingan data di laman yang dilawati
DKerahsiaan identiti pengguna (anonimiti)

18.Rangkaian komputerSukar

Protokol penghalaan manakah ialah protokol keadaan pautan (link-state)?

AARP
BBGP
COSPF
DRIP

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 565 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

565 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.155.198/25. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.155.198/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −47

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 16 + 1 = −47

Jawapan

N = −47

2.Sistem nombor

Jawapan: b = 12 bit

Kuasa dua

2¹¹ = 2048 < 3487

2¹² = 4096 ≥ 3487

Jawapan

b = 12

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬¬r → ¬(q ∨ p)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = q ∨ p, b = ¬r

Kontrapositif

¬b → ¬a = ¬¬r → ¬(q ∨ p)

Jawapan

¬¬r → ¬(q ∨ p)

Kontrapositif setara dengan pernyataan asal, maka membuktikannya membuktikan pernyataan itu.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: a = 1, b = 1, c = 0

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

a = 0, b = 1, c = 1: 0 0 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

a = 1, b = 1, c = 0

Jawapan

a = 1, b = 1, c = 0

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′C′

Bentuk SOP minimum

F = B′C′ + BC + A

N = 3

Jawapan

N = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 16

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Urutan untuk 8 flip-flop

00000000 → 10000000 → 11000000 → 11100000 → 11110000 → 11111000 → 11111100 → 11111110 → 11111111 → 01111111 → 00111111 → 00011111 → 00001111 → 00000111 → 00000011 → 00000001

Bilangan keadaan

N = 16

Jawapan

N = 16

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 16⁻¹ mod 19 = 6

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·16 (mod 19).

r = 19, t = 0

r = 16, q = 1, t = 1

r = 3, q = 5, t = −1

r = 1, q = 3, t = 6

Songsangan

1 ≡ 6·16 (mod 19)

x = 6

semakan: 16·6 = 96 = 5·19 + 1

Jawapan

16⁻¹ mod 19 = 6

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 176

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 217, φ(n) = 180

d = 13⁻¹ mod 180 = 97

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

97 = 64 + 32 + 1

22¹ ≡ 22 (mod 217)

22² ≡ 50 (mod 217)

22⁴ ≡ 113 (mod 217)

22⁸ ≡ 183 (mod 217)

22¹⁶ ≡ 71 (mod 217)

22³² ≡ 50 (mod 217)

22⁶⁴ ≡ 113 (mod 217)

22⁹⁷ ≡ 22·50·113 ≡ 176 (mod 217)

Mesej

m = 176

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Bucu ganjil

Litar Euler

Jawapan

Litar Euler

14.Teori graf

Jawapan: W = 40

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

GE (1): ambil

GB (2): ambil

AB (4): ambil

GC (8): ambil

C · OSPF

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁹ − 2 = 510 < 565

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 565 → h = 10

Panjang awalan

p = 32 − 10 = 22

Jawapan

p = /22

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 128

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊198/128⌋·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

hos boleh guna: 129 … 254

Jawapan

x = 128

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals