Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −15 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −158 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1010 1100 >> 1. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1010 1100>> 1

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan r ↔ p? Klik formula itu.

r ↔ p

1(r → p) ∧ (¬p → ¬r)
2r ∧ p
3(r → p) ∨ (p → r)
4(r → p) ∧ (p → r)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan (p ∨ s) ∨ (r ↔ (q ∨ ¬p)) benar? Panggil nombor ini N.

(p ∨ s) ∨ (r ↔ (q ∨ ¬p))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(1, 5, 6). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C) = Σm(1, 5, 6)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop D dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0D

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(539), bilangan integer dari 1 hingga 539 yang perdana relatif dengan 539.

n = 539 = 7²·11

φ(539) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Sulitkan mesej m = 239 dengan kunci awam RSA (n, e) = (697, 11). Cari teks sulit c.

n = 697e = 11m = 239

c =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah yang diukur oleh analisis teramortisasi?

AKos algoritma pada input terbaik
BKos purata bagi setiap operasi merentasi jujukan operasi kes terburuk
CKos dijangka merentasi input rawak
DKos satu operasi yang paling mahal di mana-mana dalam jujukan itu

10.Algoritma & kerumitanSukar

Pernyataan manakah tentang notasi o kecil yang betul?

An = o(n), kerana setiap fungsi ialah o kecil bagi dirinya sendiri
B2n = o(n), kerana 2n tumbuh perlahan
Cn = o(n²), tetapi n bukan o(n)
Dn² = o(n)

11.Struktur dataSederhana

Syarat keseimbangan apakah yang dikekalkan oleh pokok AVL pada setiap nod?

AKedua-dua subpokok bagi setiap nod mengandungi bilangan nod yang betul-betul sama
BKetinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
CSetiap nod diwarnakan merah atau hitam
DSemua daun berada pada kedalaman yang tepat sama

12.Struktur dataSukar

Dalam algoritma pokok rentang minimum Kruskal, untuk apakah struktur union-find digunakan?

AMenyimpan jarak semasa setiap bucu dari sumber semasa carian
BMenyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung
CMengisih sisi mengikut pemberat
DMemilih bucu permulaan

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 9

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 3; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 3

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Bentuk normal ketiga (3NF) menghapuskan:

AKebergantungan transitif antara atribut bukan kunci
BNilai atomik
CIndeks berlebihan pada lajur yang bukan sebahagian daripada kunci
DKunci gubahan

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah bacaan hantu (phantom read)?

APertanyaan yang tidak memulangkan baris
BMembaca perubahan yang belum dikomit
CPertanyaan berulang memulangkan baris baharu yang disisipkan oleh transaksi lain yang telah dikomit
DMembaca data yang tidak pernah ditulis

17.Rangkaian komputerSederhana

Pelayar menerima kod status HTTP 404. Apakah maksudnya?

APelayan mengalami ralat dalaman
BPermintaan berjaya
CKlien mesti log masuk dahulu
DSumber yang diminta tidak ditemui

18.Rangkaian komputerSukar

Mengapakah pilihan penskalaan tetingkap TCP diperkenalkan?

ATanpanya, TCP tidak dapat mengesan segmen yang hilang pada pautan jarak jauh
BMedan tetingkap 32 bit terlalu besar dan membazirkan ruang pengepala dalam setiap segmen TCP yang dihantar
CUDP memerlukan cara untuk mengawal kadar penghantarannya pada laluan yang sesak
DMedan tetingkap 16 bit mengehadkan tetingkap kepada 65,535 bait, terlalu kecil untuk laluan jarak jauh yang pantas

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 1236 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

1236 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Rangkaian 192.168.110.0/24 dibahagikan dengan VLSM untuk LAN berikut: A: 7 hos, B: 88 hos, C: 18 hos, D: 50 hos. Subnet diperuntukkan dari .0 ke atas, LAN dengan hos paling banyak dahulu, masing-masing dengan subnet terkecil yang muat. Apakah oktet keempat x alamat rangkaian LAN C?

A: 7B: 88C: 18D: 50

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 241

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

15 = 0000 1111

disongsangkan: 1111 0000

+1 → 1111 0001

Baca sebagai tanpa tanda

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

Jawapan

U = 241

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 86

Bit demi bit

Anjak ke kanan sebanyak 1 menggerakkan setiap bit 1 tempat ke kanan; bit yang jatuh dari hujung kanan hilang dan sifar masuk di sebelah kiri.

1010 1100 >> 1

= 0101 0110

Nilai hasil

0101 0110₂ = 86

Jawapan

R = 86

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (r → p) ∧ (p → r)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a ↔ b bermaksud implikasi itu benar dalam kedua-dua arah: (a → b) ∧ (b → a).

r ↔ p ≡ (r → p) ∧ (p → r)

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, r = 0: 0 | 1 0 1 0

p = 0, r = 1: 0 | 0 0 1 0

p = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1

Jawapan

(r → p) ∧ (p → r)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 14

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

p ∨ s; ¬p; q ∨ ¬p; r ↔ (q ∨ ¬p); (p ∨ s) ∨ (r ↔ (q ∨ ¬p))

Pecahkan pada p

p = 1: 8

p = 0: 6

N = 8 + 6 = 14

Jawapan

N = 14

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(B + C)

(B′ + C′)

(A + C)

Bentuk POS minimum

F = (B + C)(B′ + C′)(A + C)

N = 3

Jawapan

N = 3

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop D menyalin D pada setiap pinggir menaik: Q⁺ = D.

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

Kira perubahan

0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0

N = 4

Jawapan

N = 4

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(539) = 420

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

539 = 7²·11

Totien

φ(539) = φ(11)·φ(49) = 10·42 = 420

Jawapan

φ(539) = 420

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: c = 511

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Kuasa dua berulang

11 = 8 + 2 + 1

239¹ ≡ 239 (mod 697)

239² ≡ 664 (mod 697)

B · Menyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung

13.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Bucu ganjil

B, C, D, E → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: E

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): B: 2, C: 13

2. B (2): C: 11, D: 9, E: 4

3. E (4): F: 18

4. D (9): F: 13

5. C (11)