Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −105 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −1058 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0010 0011 >> 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0010 0011>> 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(c ∧ a)? Klik formula itu.

¬(c ∧ a)

1¬c ∨ ¬a
2¬c ∧ a
3¬c ∧ ¬a
4¬c ∨ a

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis p → r; r → q diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

p → rr → q

1q → p
2¬p → ¬q
3p ∧ q
4p → q

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(2, 4, 5, 7). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C) = Σm(2, 4, 5, 7)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

pembilang mod-12 segerak mengira 0, 1, …, 11 dan kemudian kembali ke 0. Ia bermula pada 9. Apakah kiraan Q (dalam perpuluhan) yang ditunjukkan selepas 26 denyut jam?

Q₀ = 926N = 12

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 28 modulo 37: nombor x dengan 0 < x < 37 dan 28·x ≡ 1 (mod 37).

a = 28n = 37

28⁻¹ mod 37 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Berapa banyak penyelesaian N yang ada pada 16x ≡ 10 (mod 22) dalam {0, 1, …, 21}?

16x ≡ 10 (mod 22)

N =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Dalam masalah pemilihan aktiviti, peraturan tamak manakah yang sentiasa memberikan bilangan maksimum aktiviti yang tidak bertindih?

APilih aktiviti yang tamat paling awal, kemudian ulang dengan yang serasi
BPilih aktiviti dengan pertindihan paling sedikit dahulu, kemudian ulang dengan yang serasi
CPilih aktiviti terpendek dahulu
DPilih aktiviti yang bermula paling awal

10.Algoritma & kerumitanSukar

Laluan ringkas terpendek boleh dicari dalam masa polinomial. Apakah yang diketahui tentang mencari laluan ringkas terpanjang antara dua bucu dalam graf am?

AIa tidak boleh diputuskan
BIa NP-sukar
CIa boleh diselesaikan oleh algoritma Dijkstra dengan pemberat dinegatifkan
DIa sentiasa boleh diselesaikan dalam O(V + E)

11.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah carian perkataan sepanjang L dalam trie dengan abjad tetap?

AO(log n), dengan n ialah bilangan perkataan
BO(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan
CO(n), dengan n ialah bilangan perkataan
DO(L × n)

12.Struktur dataSukar

Struktur manakah yang membolehkan anda mengira maksimum setiap tetingkap bersaiz k dalam tatasusunan dalam jumlah O(n)?

ASenarai berpaut tunggal elemen tetingkap
BTatasusunan tersusun yang dikemas kini dengan menganjak
CTimbunan min yang dibina semula bagi setiap tetingkap
DDeque yang menyimpan indeks mengikut susunan nilai menurun

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 6|E| = 7

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 6; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 6

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah suntikan SQL (SQL injection)?

ATeknik untuk menyisipkan banyak baris dengan cepat menggunakan satu penyataan INSERT
BTeknik sandaran pangkalan data
CCara untuk menambah indeks
DSerangan di mana input pengguna mengubah struktur pertanyaan SQL

16.Pangkalan data & SQLSukar

Jadual mempunyai sejuta baris dan lajur Boolean is_active yang TRUE untuk 95% daripadanya. Mengapakah pengoptimum mungkin mengabaikan indeks pada is_active untuk WHERE is_active = TRUE?

AIndeks tidak boleh dicipta pada lajur Boolean
BTRUE dianggap NULL oleh indeks
CKebanyakan baris sepadan, maka imbasan jadual penuh lebih murah daripada banyak carian indeks
DPengoptimum tidak pernah menggunakan indeks dalam klausa WHERE

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah UDP sering dipilih untuk panggilan video langsung?

AKelewatan rendah lebih penting daripada menghantar semula setiap paket yang hilang
BUDP menjamin setiap paket sampai, jadi gambar tidak pernah beku
CUDP diperlukan untuk semua video
DUDP menyulitkan data secara automatik

18.Rangkaian komputerSukar

Masalah mengira-ke-infiniti (count-to-infinity) berlaku dalam jenis protokol penghalaan yang mana, dan apakah yang membantu mengatasinya?

APenghalaan statik; menambah laluan lalai
BKeadaan pautan; membanjiri kemas kini pautan
CVektor laluan; laluan AS yang lebih panjang
DVektor jarak; split horizon dan poison reverse

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 6 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/246 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.154.85/27. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.154.85/27

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 151

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

105 = 0110 1001

disongsangkan: 1001 0110

+1 → 1001 0111

Baca sebagai tanpa tanda

1001 0111₂ = 256 − 105 = 151

Jawapan

U = 151

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 8

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

Anjak ke kanan sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kanan; bit yang jatuh dari hujung kanan hilang dan sifar masuk di sebelah kiri.

0010 0011 >> 2

= 0000 1000

Nilai hasil

0000 1000₂ = 8

Jawapan

R = 8

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬c ∨ ¬a

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

De Morgan: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. ∧ bertukar menjadi ∨ dan kedua-dua bahagian dinafikan.

¬(c ∧ a) ≡ ¬c ∨ ¬a

Semak dengan jadual kebenaran

a = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 1, c = 0: 1 | 1 1 0 1

a = 0, c = 1: 1 | 1 0 0 0

a = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1

Jawapan

¬c ∨ ¬a

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p → q

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, ¬p → ¬q = 1, p ∧ q = 1, p → q = 1

p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, ¬p → ¬q = 0, p ∧ q = 0, p → q = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, ¬p → ¬q = 0, p ∧ q = 0, p → q = 1

p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, ¬p → ¬q = 1, p ∧ q = 0, p → q = 1

Kesimpulan

p → q (silogisme hipotesis)

Jawapan

p → q

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

AB′

A′BC′

Bentuk SOP minimum

F = AC + AB′ + A′BC′

N = 3

Jawapan

N = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 11

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Kitaran penuh

Setiap 12 denyut membawa pembilang kembali ke keadaan yang sama.

26 = 2·12 + 2

Kiraan selepas denyut yang tinggal

Q = (9 + 2) mod 12 = 11

Q = 1011₂

Jawapan

Q = 11

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 28⁻¹ mod 37 = 4

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·28 (mod 37).

r = 37, t = 0

r = 28, q = 1, t = 1

r = 9, q = 3, t = −1

r = 1, q = 9, t = 4

Songsangan

1 ≡ 4·28 (mod 37)

x = 4

semakan: 28·4 = 112 = 3·37 + 1

Jawapan

28⁻¹ mod 37 = 4

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: N = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(16, 22) = 2

8x ≡ 5 (mod 11)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

8⁻¹ ≡ 7 (mod 11) → x ≡ 2 (mod 11)

Penyelesaian modulo 22

x ∈ {2, 13}

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Bucu ganjil

A, F → 2

Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

14.Teori graf

Jawapan: E

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): C: 4

2. C (4): B: 9, E: 14, G: 7

3. G (7): D: 12, E: 13

4. B (9)

5. D (12): F: 27

6. E (13)

Selepas kegagalan, penghala vektor jarak boleh terus mengiklankan laluan lapuk antara satu sama lain, menaikkan metrik secara perlahan. Split horizon, poison reverse dan metrik maksimum mengehadkannya.

Jawapan

D · Vektor jarak; split horizon dan poison reverse

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 30

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit untuk dipinjam

2³ = 8 ≥ 6 → b = 3, /27

Hos bagi setiap subnet

2⁵ − 2 = 30

Jawapan

H = 30

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 94

Saiz blok

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊85/32⌋·32 = 64

siaran: 64 + 32 − 1 = 95

hos boleh guna: 65 … 94

Jawapan

x = 94

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals