Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −51 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −518 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0100 1010 >> 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0100 1010>> 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan q ∨ (r ∧ p)? Klik formula itu.

q ∨ (r ∧ p)

1(q ∨ r) ∧ p
2q ∧ (r ∨ p)
3(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
4(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis r → p; ¬p diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

r → p¬p

1r
2¬r ∧ p
3¬r
4p

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14) + d(3, 9), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14) + d(3, 9)

L =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Selesaikan 15x ≡ 14 (mod 67). Beri penyelesaian x dengan 0 < x < 67.

15x ≡ 14 (mod 67)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 4x ≡ 8 (mod 38). Beri penyelesaian positif terkecil x.

4x ≡ 8 (mod 38)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

ALaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
BLaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif
CPokok rentang minimum
DSusunan topologi dalam semua graf

10.Algoritma & kerumitanSukar

Menggunakan teorem induk, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) mempunyai penyelesaian:

AΘ(n² log n)
BΘ(n log n)
CΘ(n²)
DΘ(n³)

11.Struktur dataSederhana

Kunci 50, 30, 70, 20, 40 disisip mengikut susunan ini ke dalam pokok carian binari kosong. Apakah anak kiri 30?

12.Struktur dataSukar

Kerumitan masa decrease-key dalam timbunan binari (diberi kedudukan elemen) ialah:

AO(n log n)
BO(n)
CO(1)
DO(log n)

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 3, 2 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 32 × deg 2

L =

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 2 dari D ke B? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 2

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dilakukan oleh GRANT SELECT ON employees TO alice?

AMembenarkan pengguna alice membaca jadual employees
BMembenarkan alice mengemas kini dan memadam baris dalam jadual employees
CMenyalin jadual employees kepada alice
DMenjadikan alice pemilik pangkalan data

16.Pangkalan data & SQLSukar

Bilakah penguraian R kepada R1 dan R2 dijamin tanpa kehilangan (lossless)?

AApabila R1 dan R2 mempunyai bilangan lajur yang sama
BApabila atribut sepunya R1 dan R2 membentuk superkey bagi R1 atau R2
CApabila setiap atribut R muncul dalam kedua-dua R1 dan R2
DApabila R1 dan R2 tidak mempunyai atribut sepunya

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah tujuan utama VLAN?

AUntuk memberikan setiap peranti alamat IP awam
BUntuk menyulitkan semua trafik antara suis supaya jabatan lain tidak dapat membacanya
CUntuk meningkatkan kelajuan setiap port suis
DUntuk membahagikan satu rangkaian bersuis fizikal kepada domain siaran yang berasingan

18.Rangkaian komputerSukar

Apakah faedah utama sambungan berterusan (keep-alive) dalam HTTP/1.1?

ARespons boleh tiba dalam sebarang tertib pada satu strim, jadi balasan perlahan tidak menyekat yang lain
BBeberapa permintaan menggunakan semula satu sambungan TCP, mengelakkan jabat tangan berulang
CPelayan boleh menolak kemas kini melalui UDP
DSambungan kekal disulitkan tanpa TLS

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.199.16.0/20 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /27. Berapakah bilangan subnet N?

10.199.16.0/20/27

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.198.74/29. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.198.74/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 205

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

51 = 0011 0011

disongsangkan: 1100 1100

+1 → 1100 1101

Baca sebagai tanpa tanda

1100 1101₂ = 256 − 51 = 205

Jawapan

U = 205

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 18

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

Anjak ke kanan sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kanan; bit yang jatuh dari hujung kanan hilang dan sifar masuk di sebelah kiri.

0100 1010 >> 2

= 0001 0010

Nilai hasil

0001 0010₂ = 18

Jawapan

R = 18

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

∨ teragih ke atas ∧: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

q ∨ (r ∧ p) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 0 0 1

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

Jawapan

(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 0, r = 0: r = 0, ¬r ∧ p = 0, ¬r = 1, p = 0

Kesimpulan

¬r (modus tollens)

Jawapan

¬r

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 14

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′CD

BC′D

BCD′

A′C′D′

A′B

Bentuk SOP minimum

F = B′CD + BC′D + BCD′ + A′C′D′ + A′B

L = 14

Jawapan

L = 14

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 9

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

CD′, B′D, BD′, B′C, AD′, A′C′D, AB′, A′BC′

Liputan minimum

F = BD′ + B′C + AD′ + A′C′D

L = 9

Jawapan

L = 9

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 59

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Songsangan 15

r = 67, t = 0

r = 15, q = 4, t = 1

r = 7, q = 2, t = −4

r = 1, q = 7, t = 9

15⁻¹ ≡ 9 (mod 67)

Selesaikan

x ≡ 9·14 = 126 ≡ 59 (mod 67)

semakan: 15·59 = 885 ≡ 14 (mod 67)

Jawapan

x = 59

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(4, 38) = 2

2x ≡ 4 (mod 19)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

2⁻¹ ≡ 10 (mod 19) → x ≡ 2 (mod 19)

Penyelesaian modulo 38

x ∈ {2, 21}

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 10 = 2(L + 4) − 2

L = 4

Jawapan

L = 4

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: N = 1

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 0 0

B · Beberapa permintaan menggunakan semula satu sambungan TCP, mengelakkan jabat tangan berulang

19.Subnet IPv4

Jawapan: N = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Bit yang dipinjam

27 − 20 = 7

Bilangan subnet

N = 2⁷ = 128

Jawapan

N = 128

Setiap subnet /27 mempunyai 2⁵ − 2 = 30 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 72

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊74/8⌋·8 = 72

siaran: 72 + 8 − 1 = 79

hos boleh guna: 73 … 78

Jawapan

x = 72

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals