Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −37 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −378 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0010 0000 << 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0010 0000<< 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan b ∧ (a ∨ c)? Klik formula itu.

b ∧ (a ∨ c)

1(b ∧ a) ∨ c
2b ∨ (a ∧ c)
3(b ∨ a) ∧ (b ∨ c)
4(b ∧ a) ∨ (b ∧ c)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan (¬b → a) ∧ ((c ∧ d) → (c ∨ b)) benar? Panggil nombor ini N.

(¬b → a) ∧ ((c ∧ d) → (c ∨ b))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 14). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 14)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang Johnson 4-bit Q₃Q₂Q₁Q₀ bermula pada 0000. Pada setiap pinggir jam bit beranjak satu tempat ke kanan (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) dan Q₃ menerima songsangan Q₀. Beri keadaan Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ sebagai nombor perpuluhan selepas 9 pinggir jam.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00009

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 1 (mod 3) dan x ≡ 2 (mod 8).

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 8)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 52x ≡ 40 (mod 60). Beri penyelesaian positif terkecil x.

52x ≡ 40 (mod 60)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa teramortisasi bagi menambah pada tatasusunan dinamik yang menggandakan kapasitinya apabila penuh?

AO(n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(1)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Takrifan kelas NP yang manakah betul?

AMasalah yang tidak boleh diselesaikan dalam masa polinomial
BMasalah keputusan yang jawapan ya-nya boleh disahkan dalam masa polinomial dengan adanya sijil
CMasalah yang tiada algoritma boleh menyelesaikannya
DMasalah yang bukan polinomial

11.Struktur dataSederhana

Traversal in-order bagi pokok carian binari melawat kunci dalam:

ASentiasa susunan menurun
BSusunan sisipan
CSusunan peringkat
DSusunan menaik tersusun

12.Struktur dataSukar

Apakah masa larian carian pertama lebar pada graf dengan V bucu yang disimpan sebagai matriks bersebelahan?

AO(E log V)
BO(V)
CO(V²)
DO(V + E)

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, 4 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5

L =

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 11

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT SUM(amount) FROM orders apabila klausa WHERE tidak sepadan dengan sebarang baris?

A0
BNULL
CRentetan kosong
DRalat

16.Pangkalan data & SQLSukar

Terdapat indeks gubahan pada (last_name, first_name). Syarat manakah yang boleh menggunakannya dengan paling berkesan?

AWHERE first_name = 'Eva'
BWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
CWHERE first_name LIKE '%a'
DWHERE last_name = 'Jansen'

17.Rangkaian komputerSederhana

Bagaimanakah TLS lazimnya menggunakan kriptografi tak simetri dan simetri?

AKaedah tak simetri bersetuju tentang kunci dan mengesahkan; sifer simetri menyulitkan data
BHanya kriptografi tak simetri digunakan sepanjang masa
CKaedah simetri bersetuju tentang kunci dan mengesahkan; sifer tak simetri menyulitkan semua data
DHanya kriptografi simetri digunakan, dengan kata laluan kongsi yang tetap

18.Rangkaian komputerSukar

Masalah mengira-ke-infiniti (count-to-infinity) berlaku dalam jenis protokol penghalaan yang mana, dan apakah yang membantu mengatasinya?

AVektor laluan; laluan AS yang lebih panjang
BPenghalaan statik; menambah laluan lalai
CKeadaan pautan; membanjiri kemas kini pautan
DVektor jarak; split horizon dan poison reverse

19.Subnet IPv4Sederhana

Satu subnet menggunakan topeng 255.255.255.128. Berapakah bilangan alamat hos H yang boleh digunakan?

255.255.255.128

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.155.106/29. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.155.106/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 219

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

37 = 0010 0101

disongsangkan: 1101 1010

+1 → 1101 1011

Baca sebagai tanpa tanda

1101 1011₂ = 256 − 37 = 219

Jawapan

U = 219

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 128

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

Anjak ke kiri sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kiri; bit yang jatuh dari hujung kiri hilang dan sifar masuk di sebelah kanan.

0010 0000 << 2

= 1000 0000

Nilai hasil

1000 0000₂ = 128

Jawapan

R = 128

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (b ∧ a) ∨ (b ∧ c)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

∧ teragih ke atas ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

b ∧ (a ∨ c) ≡ (b ∧ a) ∨ (b ∧ c)

Semak dengan jadual kebenaran

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 1 1 1 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 1 1 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

Jawapan

(b ∧ a) ∨ (b ∧ c)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 12

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬b; ¬b → a; c ∧ d; c ∨ b; (c ∧ d) → (c ∨ b); (¬b → a) ∧ ((c ∧ d) → (c ∨ b))

Pecahkan pada a

a = 1: 8

a = 0: 4

N = 8 + 4 = 12

Jawapan

N = 12

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(B + C′ + D′)

(B′ + C + D)

(A + C + D)

(A′ + B′ + D′)

(A′ + B + C′)

Bentuk POS minimum

F = (B + C′ + D′)(B′ + C + D)(A + C + D)(A′ + B′ + D′)(A′ + B + C′)

N = 5

Jawapan

N = 5

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 8

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Keadaan selepas setiap pinggir

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000

Nilai perpuluhan

1000₂ = 8

Jawapan

Q = 8

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 10

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 1 + 3k

Kongruen kedua

1 + 3k ≡ 2 (mod 8) → 3k ≡ 1 (mod 8)

k ≡ 3·1 ≡ 3 (mod 8)

Keputusan

x = 1 + 3·3 = 10

x = 10

semakan: 10 mod 3 = 1, 10 mod 8 = 2

Jawapan

x = 10

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 10

Bahagi dengan gcd

gcd(52, 60) = 4

13x ≡ 10 (mod 15)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

13⁻¹ ≡ 7 (mod 15) → x ≡ 10 (mod 15)

Penyelesaian modulo 60

x ∈ {10, 25, 40, 55}

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 44 = 2(L + 11) − 2

L = 24

Jawapan

L = 24

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: W = 26

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

DF (1): ambil

DE (2): ambil

CE (4): ambil

AB (5): ambil

D · Vektor jarak; split horizon dan poison reverse

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 126

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Panjang awalan

255.255.255.128 = /25

Hos boleh guna

2⁷ − 2 = 126

Jawapan

H = 126

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 111

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊106/8⌋·8 = 104

siaran: 104 + 8 − 1 = 111

hos boleh guna: 105 … 110

Jawapan

x = 111

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals