Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −98 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −988 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu sistem mesti memberikan setiap satu daripada 3593 item kod perduaan tersendiri dengan panjang yang sama. Apakah bilangan bit terkecil b yang diperlukan?

3593

b = bit

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan q → p? Klik formula itu.

q → p

1¬p → ¬q
2¬p ∧ ¬q
3p → q
4¬q → ¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis b ∨ c; ¬b ∨ a diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

b ∨ c¬b ∨ a

1c ∧ a
2b ∨ a
3¬c
4c ∨ a

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(0, 1, 5, 6). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 5, 6)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan. Klik pinggir jam pertama yang Q-nya berubah daripada 1 kembali kepada 0.

Q₀ = 0JK

1pinggir jam 1
2pinggir jam 2
3pinggir jam 3
4pinggir jam 4
5pinggir jam 5
6pinggir jam 6
7pinggir jam 7
8pinggir jam 8

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 1 (mod 7) dan x ≡ 7 (mod 9).

x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 7 (mod 9)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 5¹⁸³ mod 76.

a = 5k = 183n = 76

5¹⁸³ mod 76 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa teramortisasi bagi menambah pada tatasusunan dinamik yang menggandakan kapasitinya apabila penuh?

AO(1)
BO(n²)
CO(n)
DO(log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Menggunakan teorem induk, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) mempunyai penyelesaian:

AΘ(n³)
BΘ(n² log n)
CΘ(n²)
DΘ(n log n)

11.Struktur dataSederhana

Apakah nilai ungkapan postfix 3 4 + 2 * ?

12.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mengekalkan setiap pokok-B seimbang dengan sempurna?

ASetiap nod menyimpan satu kunci
BKunci disimpan hanya di akar
CSetiap nod mempunyai tepat dua anak
DSemua daun berada pada kedalaman yang sama

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 7

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 3 bermula dan berakhir di D? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Mengapakah SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 gagal dalam kebanyakan pangkalan data?

AWHERE hanya boleh membandingkan lajur teks
BWHERE dinilai sebelum senarai SELECT, maka alias belum wujud lagi
CAritmetik tidak dibenarkan dalam senarai SELECT
DAlias tidak boleh mengandungi garis bawah

16.Pangkalan data & SQLSukar

Terdapat indeks gubahan pada (last_name, first_name). Syarat manakah yang boleh menggunakannya dengan paling berkesan?

AWHERE first_name LIKE '%a'
BWHERE first_name = 'Eva'
CWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
DWHERE last_name = 'Jansen'

17.Rangkaian komputerSederhana

Topeng subnet 255.255.255.0 sepadan dengan apakah dalam tatatanda CIDR?

A/24
B/32
C/16
D/8

18.Rangkaian komputerSukar

Bagaimanakah rangkaian penghantaran kandungan (CDN) terutamanya meningkatkan prestasi web?

AIa menyajikan kandungan cache daripada pelayan yang dekat dengan pengguna
BIa meningkatkan lebar jalur sambungan rumah pengguna itu sendiri
CIa menggantikan TCP dengan protokol pengangkutan yang lebih pantas
DIa menghapuskan keperluan carian DNS

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 20 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/2420 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.112.37/25. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.112.37/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 158

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

98 = 0110 0010

disongsangkan: 1001 1101

+1 → 1001 1110

Baca sebagai tanpa tanda

1001 1110₂ = 256 − 98 = 158

Jawapan

U = 158

2.Sistem nombor

Jawapan: b = 12 bit

Kuasa dua

2¹¹ = 2048 < 3593

2¹² = 4096 ≥ 3593

Jawapan

b = 12

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬p → ¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

Implikasi setara dengan kontrapositifnya ¬b → ¬a, bukan akasnya b → a atau songsangannya ¬a → ¬b.

q → p ≡ ¬p → ¬q

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 1, q = 0: 1 | 1 0 0 0

p = 0, q = 1: 0 | 0 0 1 1

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

Jawapan

¬p → ¬q

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: c ∨ a

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

a = 1, b = 1, c = 1: c ∧ a = 1, b ∨ a = 1, ¬c = 0, c ∨ a = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ∧ a = 0, b ∨ a = 1, ¬c = 1, c ∨ a = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ∧ a = 1, b ∨ a = 1, ¬c = 0, c ∨ a = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ∧ a = 0, b ∨ a = 0, ¬c = 0, c ∨ a = 1

Kesimpulan

c ∨ a (resolusi)

Jawapan

c ∨ a

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 7

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′C

A′B′

ABC′

Bentuk SOP minimum

F = B′C + A′B′ + ABC′

L = 7

Jawapan

L = 7

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: pinggir jam 4

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 0 → Q = 0

6: J = 0, K = 0 → Q = 0

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

8: J = 0, K = 1 → Q = 0

Perubahan pertama daripada 1 kepada 0

pinggir jam 4

Jawapan

pinggir jam 4

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 43

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 1 + 7k

Kongruen kedua

1 + 7k ≡ 7 (mod 9) → 7k ≡ 6 (mod 9)

k ≡ 4·6 ≡ 6 (mod 9)

Keputusan

x = 1 + 7·6 = 43

x = 43

semakan: 43 mod 7 = 1, 43 mod 9 = 7

Jawapan

x = 43

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 5¹⁸³ mod 76 = 49

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen perduaan

183 = 10110111₂ = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1

Kuasa dua berulang

5¹ ≡ 5 (mod 76)

5² ≡ 25 (mod 76)

5⁴ ≡ 17 (mod 76)

5⁸ ≡ 61 (mod 76)

5¹⁶ ≡ 73 (mod 76)

D · Semua daun berada pada kedalaman yang sama

13.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 1

Bucu ganjil

C, E, F, G → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: N = 2

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

A · Ia menyajikan kandungan cache daripada pelayan yang dekat dengan pengguna

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 6

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit untuk dipinjam

2⁵ = 32 ≥ 20 → b = 5, /29

Hos bagi setiap subnet

2³ − 2 = 6

Jawapan

H = 6

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 126

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊37/128⌋·128 = 0

siaran: 0 + 128 − 1 = 127

hos boleh guna: 1 … 126

Jawapan

x = 126

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals