Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −13 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −138 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1111 1000 XOR 1010 0011. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1111 1000XOR1010 0011

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan b ∨ (a ∧ c)? Klik formula itu.

b ∨ (a ∧ c)

1b ∧ (a ∨ c)
2(b ∨ a) ∧ (b ∨ c)
3(b ∨ a) ∧ c
4(b ∧ a) ∨ (b ∧ c)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (A(x) → B(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (A(x) → B(x))

1∃x (¬A(x) ∧ B(x))
2∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∀x (A(x) → ¬B(x))
4∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = AB′C + AB′C′ + ABC kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = AB′C + AB′C′ + ABC

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop D dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0D

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 29 modulo 31: nombor x dengan 0 < x < 31 dan 29·x ≡ 1 (mod 31).

a = 29n = 31

29⁻¹ mod 31 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 40x ≡ 44 (mod 54). Beri penyelesaian positif terkecil x.

40x ≡ 44 (mod 54)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Dengan syiling 1, 3 dan 4 dan jumlah 6, berapa banyak syiling yang digunakan oleh kaedah tamak "syiling terbesar dahulu", berbanding optimum?

ATamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 3
BTamak menggunakan 2 syiling; optimum ialah 2
CTamak menggunakan 4 syiling; optimum ialah 3
DTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2

10.Algoritma & kerumitanSukar

Sesuatu masalah ialah NP-lengkap jika ia:

ADalam NP dan setiap masalah NP boleh diturunkan kepadanya dalam masa polinomial
BDi luar NP tetapi lebih sukar daripada semua masalah NP, seperti masalah penghentian
CMustahil diselesaikan
DBoleh diselesaikan dalam masa polinomial

11.Struktur dataSederhana

Apakah yang benar tentang matriks bersebelahan bagi graf tidak berarah?

AIa simetri pada pepenjuru utama
BIa sentiasa segi tiga atas
CPepenjuru utamanya sentiasa mengandungi satu
DSetiap baris mempunyai tepat satu 1

12.Struktur dataSukar

Mengapakah pangkalan data sering menggunakan pokok B+ dan bukannya pokok-B biasa untuk indeks?

APokok B+ menyimpan data hanya di akar
BPokok B+ tidak perlu diimbangkan
CSemua rekod berada dalam daun berpaut, yang menjadikan imbasan julat cekap
DPokok B+ menggunakan nod dalaman binari, yang mengurangkan bilangan bacaan cakera

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, 4 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2

L =

14.Teori grafSukar

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 4; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 4

1sisi AC
2sisi BC
3sisi BD
4sisi CE
5sisi DE
6sisi DF
7sisi EF
8sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dilakukan oleh GRANT SELECT ON employees TO alice?

AMembenarkan alice mengemas kini dan memadam baris dalam jadual employees
BMembenarkan pengguna alice membaca jadual employees
CMenyalin jadual employees kepada alice
DMenjadikan alice pemilik pangkalan data

16.Pangkalan data & SQLSukar

Pangkalan data pelaporan menyalin nama pelanggan ke dalam jadual orders untuk mengelak cantuman. Apakah kos utama denormalisasi ini?

ASalinan berlebihan mesti dikekalkan konsisten setiap kali data pelanggan berubah
BPangkalan data tidak boleh menggunakan indeks lagi
CKunci utama tidak lagi boleh digunakan
DPertanyaan pada jadual orders menjadi lebih perlahan

17.Rangkaian komputerSederhana

Topeng subnet manakah sepadan dengan /20?

A255.255.255.240
B255.255.240.0
C255.255.224.0
D255.255.248.0

18.Rangkaian komputerSukar

Seorang pengguna boleh melakukan ping ke 8.8.8.8 tetapi tidak dapat membuka sebarang laman web mengikut nama. Di manakah masalahnya yang paling berkemungkinan?

AGet laluan lalai
BKabel fizikal
CPenyelesaian nama (DNS)
DPemacu kad rangkaian

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 307 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

307 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.245.174/27. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.245.174/27

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 243

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

13 = 0000 1101

disongsangkan: 1111 0010

+1 → 1111 0011

Baca sebagai tanpa tanda

1111 0011₂ = 256 − 13 = 243

Jawapan

U = 243

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 91

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1111 1000

XOR 1010 0011

= 0101 1011

Nilai hasil

0101 1011₂ = 91

Jawapan

R = 91

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: (b ∨ a) ∧ (b ∨ c)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

∨ teragih ke atas ∧: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

b ∨ (a ∧ c) ≡ (b ∨ a) ∧ (b ∨ c)

Semak dengan jadual kebenaran

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 0 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 1 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

Jawapan

(b ∨ a) ∧ (b ∨ c)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (A(x) → B(x)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Jawapan

∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 4

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

AB′C → m(5)

AB′C′ → m(4)

ABC → m(7)

Kumpulkan dan baca

F = AC + AB′

Kira literal

L = 4

Jawapan

L = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 6

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop D menyalin D pada setiap pinggir menaik: Q⁺ = D.

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

Kira perubahan

0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0 → 1 → 0

N = 6

Jawapan

N = 6

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 29⁻¹ mod 31 = 15

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·29 (mod 31).

r = 31, t = 0

r = 29, q = 1, t = 1

r = 2, q = 14, t = −1

r = 1, q = 2, t = 15

Songsangan

1 ≡ 15·29 (mod 31)

x = 15

semakan: 29·15 = 435 = 14·31 + 1

Jawapan

29⁻¹ mod 31 = 15

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 20

Bahagi dengan gcd

gcd(40, 54) = 2

20x ≡ 22 (mod 27)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

20⁻¹ ≡ 23 (mod 27) → x ≡ 20 (mod 27)

Penyelesaian modulo 54

x ∈ {20, 47}

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 44 = 2(L + 13) − 2

L = 20

Jawapan

L = 20

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: sisi DF

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. BE (2)

2. CE (3)

3. EF (4)

4. DF (9)

5. AC (14)

Ping yang berjaya ke IP luar membuktikan pendawaian, pengalamatan dan penghalaan berfungsi. Nama yang gagal menunjukkan masalah tetapan pelayan DNS atau penyelesai.

Jawapan

C · Penyelesaian nama (DNS)

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 23

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁸ − 2 = 254 < 307

2⁹ − 2 = 510 ≥ 307 → h = 9

Panjang awalan

p = 32 − 9 = 23

Jawapan

p = /23

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 191

Saiz blok

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊174/32⌋·32 = 160

siaran: 160 + 32 − 1 = 191

hos boleh guna: 161 … 190

Jawapan

x = 191

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals